课时梯级训练(2) 数列通项公式、递推公式、前n项和及应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　数列通项公式、递推公式、前n项和及应用 1．(2024·重庆高二期末)数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) C　解析：根据题意，数列，，，，…， 从第二项开始，每一项都是前一项的，则其递推公式为an＋1＝an(n∈N*). 2．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　) A． B． C．2 D．3 A　解析：由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1， ∴m＝. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为(　　) A．1 B．3 C．5 D．6 C　解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3， ∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，∴a1＋a3＝5. 4．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：对n依次取2，3，4，5，得a2＝(－1)2×2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝. 5．(2024·贵港高二期末)已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＝1，则a1＝________． 答案：　解析：由an＋1－2an＝0得an＝，故a1＝＝＝＝. 6．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________． 答案：255　解析：因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255. 7．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________． 答案：－4n＋2　解析：当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2.显然n＝1时符合上式，故an＝－4n＋2. 8．(2024·柳州高二期中)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，求通项公式an. 解：当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3， 当n＝1时，a1＝1≠2－3， 故an＝ 9．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0. (1)写出数列{an}的前5项． (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式． (3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？ 解：(1)由已知可得a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. (2)由(1)可得数列{an}的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…， 所以数列{an}的一个通项公式为an＝. (3)令＝，解得n＝50， 故是这个数列的第50项． 10．(2024·泰州高二期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1，若k∈N*，则ak＋ak＋1＝(　　) A．－1或1 B．1 C．0或－1 D．－1 A　解析：因为an＋1＝a－1，所以当n＝1时，a2＝0， 当n＝2时，a3＝0－1＝－1； 当n＝3时，a4＝1－1＝0； 当n＝4时，a5＝0－1＝－1； 当n＝5时，a6＝1－1＝0； 所以当k＝1时，ak＋ak＋1＝a1＋a2＝1， 当k>1且k∈N*时，ak＋ak＋1＝0＋(－1)＝－1， 所以ak＋ak＋1＝1或－1，故选A. 11．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＝1＋(n≥2)，则a5＝________． 答案：　解析：由题意可知， a1＝1， a2＝1＋＝1＋＝2， a3＝1＋＝1＋＝， a4＝1＋＝1＋＝， a5＝1＋＝1＋＝. 12．如图，图案中的星星个数构成一个数列，第20个图案有________个星星． 答案：210　解析：观察数列中的星星个数的规律：当n＝1时，有1个，当n＝2时，有(1＋2)个，当n＝3时，有(1＋2＋3)个，…，所以当n＝20时，有1＋2＋3＋…＋20＝21×10＝210(个). 13．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图乙的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图丙)，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”．设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值； (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第(n＋1)条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an， ∴数列{an}的递推公式为 14．一老汉为感激梁山好汉，带了些千里马要送给梁山好汉．见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他；老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……一直送到108名好汉的最后一名，老汉下山回家时还剩两匹马．你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？ 解：设老汉上山时一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1. 依次进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1.按照题目要求应有a109＝a108＋1＝2.∴a108＝2. 依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2，即老汉最初上山时带了2匹千里马． 学科网（北京）股份有限公司 $$