第5章 专题提升课(三) 导数与函数的零点（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题提升课(三)　导数与函数的零点 学习目标 会利用导数解决与函数零点个数有关的问题． 专题一：利用导数研究函数的零点个数 [例1] 已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)若函数f(x)在[1, e]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)零点的个数． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由条件知f′(x)＝≥0在x∈[1，e]上恒成立， ∴a≤1.因此，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)令f(x)＝ln x＋＋1＝0， 可得a＝－x ln x－x. 令g(x)＝－x ln x－x，x>0， g′(x)＝－ln x－2. 令g′(x)＝0，可得x＝， 列表如下： x (0，) (，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 作出函数g(x)的图象与直线y＝a如下图所示： 当0<x<时，g(x)>0； 当x>时，g(x)<0. 由图可知，当a≤0或a＝时，函数f(x)只有一个零点；当0<a<时，函数f(x)有两个零点；当a>时，函数f(x)没有零点． 综上所述：当a≤0或a＝时，函数f(x)只有一个零点；当0<a<时，函数f(x)有两个零点；当a>时，函数f(x)没有零点． 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． [练1] (2024·成都高二期末)已知函数f(x)＝ex－. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)判断函数f(x)的零点的个数，并说明理由． 解：(1)由f(x)＝ex－，得f′(x)＝ex＋，则f′(0)＝3， 而f(0)＝2，所以该函数在点(0，f(0))处的切线方程为 y－2＝3(x－0)，即3x－y＋2＝0. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 由(1)可知：f′(x)＝ex＋， 当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 因为f(－2)f(0)＝(e－2－)·2＝2(－)<0，所以函数在x∈(－∞，1)时有唯一零点； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 因为f(2)f()＝(e2－3)·(e－9)<0， 所以函数在x∈(1，＋∞)时有唯一零点， 所以函数f(x)有2个零点． 专题二：由函数零点的个数求参数的值或范围 [例2] (2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝，则f′(x)＝＝＝. ∴当x∈(0，)时，f′(x)＞0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0. 即f(x)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(0，). (2)要使曲线y＝f(x)与直线y＝1有2个交点， 即＝1有2个解，则＝有2个解． 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝(x＞0). 令g′(x)＝＝0，解得x＝e. 令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0，解得x＞e，此时g(x)单调递减． 故g(x)max＝g(e)＝. 而在x＞e时，g(x)∈(0，). 又∵g(1)＝0，∴要使条件成立，则0＜＜. 易得a∈(1，e)∪(e，＋∞). 已知函数的零点个数求参数的范围的方法 (1)分离参数，得到形如m＝f(x)的方程，转化为f(x)的值域问题或转化为直线y＝m与y＝f(x)的图象交点个数问题． (2)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题． (3)利用函数零点存在定理构建不等式． [练2] (2024·宿迁高二期末)已知函数f(x)＝(x2＋x＋1)e－x－a. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)至少有两个零点，求a的取值范围． 解：(1)由f′(x)＝(2x＋1)e－x－(x2＋x＋1)e－x＝x(1－x)e－x， 在(－∞，0)，(1，＋∞)上f′(x)<0，在(0，1)上f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，(0，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知：f(x)极小值为f(0)＝1－a，极大值为f(1)＝－a， 要使f(x)至少有两个零点，则可得1≤a≤. 1．知识清单 (1)利用导数研究函数零点个数． (2)由函数零点个数求参数的值或范围． 2．方法归纳：构造法、转化法、数形结合． 3．常见误区：未能找到函数的变化趋势，无法准确作出函数的图象． ◎随堂演练 1．(2024·昆明高二月考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则f(x)的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：f(x)的定义域为R， 由题意可得f′(x)＝2x ln 2－1， 因为f′(x)单调递增且当x→－∞时f′(x)<0，当x→＋∞时f′(x)>0， 所以存在唯一一点t使得f′(t)＝0， 所以f(x)在(－∞，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有两个零点， 又因为f(0)＝0，f(1)＝0，所以f(x)有2个零点，故选C. 2．(2023·南宁高二期中)已知函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1，则它们的图象交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 B　解析：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，由h′(x)＝ex－1＝0，得x＝0， ∴当x<0时，h′(x)<0，当x>0时，h′(x)>0. ∴当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0， ∴h(x)＝ex－x－1只有一个零点，即f(x)与g(x)的图象只有1个交点． 3．(2024·内江高二月考)已知函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点，则整数a的取值可以是________． 答案：2(大于等于2的整数即可，答案不唯一) 解析：当a＝0时，f(x)＝ex，显然不满足题意； 当a≠0时，令f(x)＝ex－ax2＝0，可得＝. 令g(x)＝，则g′(x)＝＝， 易知当x∈(0，2)时，g′(x)＞0；当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0； 因此函数g(x)在(0，2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减， 可得g(x)的极小值为g(0)＝0，极大值为g(2)＝. 作出函数g(x)的图象如图所示， 若函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点，即y＝与g(x)＝在同一坐标系内有三个不同的交点， 由图可知，0＜＜，解得a＞. 又因为a取整数，且＜2，所以整数a的取值可以是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$