第4章 专题提升课(一) 构造法求数列通项公式问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

专题提升课(一)　构造法求数列通项公式问题 学习目标 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法． 2．会用构造法构造等差数列、等比数列解决一些简单的问题． 专题一：形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 [例1] 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n， 得＝＋1，即－＝1，且＝， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 即＝＋(n－1)×1，所以an＝(n－)×2n. [变式探究] 将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 解：等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，且＝，所以{}是以为首项，以2为公差的等差数列， 所以＝＋(n－1)×2＝2n－，即an＝(2n－)×2n. 形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系 求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来； 第二步：写出数列的通项公式； 第三步：写出数列{an}的通项公式． [练1] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N*)，且a2＝5，求数列{an}的通项公式． 解：因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，所以当n＝1时，2S1＝a2－22＋1＝2，故a1＝S1＝1， 当n≥2时，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，2Sn－1＝an－2n＋1， 两式相减得2an＝an＋1－an－2n，整理an＋1＝3an＋2n，则(＋1)＝(＋1)， ＋1＝，故数列{＋1}是首项为，公比为的等比数列， ＋1＝×()n－1＝()n，故an＝3n－2n， 当n＝1时，a1＝1满足上式，故an＝3n－2n，n∈N*. 专题二：形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 [例2] (2024·衡水高二月考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＋1＝3an＋4，设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t， 根据对应项系数相等可得2t＝4，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2)，a1＋2＝3， 所以{an＋2}是3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式的方法 对于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝A(an＋k)求解． [练2] (2023·济南高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋2(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＝3an－1＋2(n≥2)，所以an＋1＝3(an－1＋1)，又a1＝1，所以a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝2×3n－1，则an＝2×3n－1－1. 专题三：形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式 [例3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 答案：　解析：因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝.所以an＝. 形如an＋1＝的递推关系求通项公式的思路 形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． [练3] (2023·德州高二月考)已知数列{an}的递推公式an＋1＝，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＋1＝，且a1＝1，则a2＝>0，…， 以此类推可知，对任意的n∈N*，an>0， 在等式an＋1＝两边取倒数可得＝＝＋1，则－＝1， 所以，数列为等差数列，且其首项为＝1，公差为1， ＝1＋(n－1)×1＝n，故对任意的n∈N*，an＝. 1．知识清单 (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式． (3)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：构造的新数列的首项易误认为还是a1. ◎随堂演练 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝2n－1 D．an＝－1 B　解析：∵an＋1＝(n∈N*)，∴＝＝1＋， ∴＋1＝2(＋1).∵a1＝1，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴＋1＝2n，∴an＝.故选B. 2．(2024·临沂高二期末)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对于任意正整数n，都有3Sn＝2(an＋an＋1)－3.求证：数列{2an＋1＋an}是等比数列． 证明：在数列{an}中，3Sn＝2(an＋an＋1)－3，则3Sn＋1＝2(an＋1＋an＋2)－3， 两式相减得3an＋1＝2(an＋2－an)，即2an＋2＝3an＋1＋2an，因此2an＋2＋an＋1＝2(2an＋1＋an)， 又当n＝1时，3S1＝2(a1＋a2)－3，a1＝1，解得a2＝2，即2a2＋a1＝5， 所以数列{2an＋1＋an}是首项为5，公比为2的等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$