5.2.2 导数的四则运算法则（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.2　导数的四则运算法则 学习目标 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步掌握导数的运算与几何意义的综合应用． 知识点　导数的四则运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 (1)和(或差)的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)积的导数 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x). (3)商的导数 []′＝(g(x)≠0). 1．公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数， 设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x). 2．结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝＋； (2)y＝x3·10x； (3)y＝cos x·ln x； (4)y＝. 解：(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4. (2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x210x＋x310x ln 10. (3)y′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋. (4)y′＝＝. 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [练1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝x2＋tan x； (3)y＝. 解：(1)因为y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，所以y′＝3x2－2x＋1. (2)因为y＝x2＋tan x＝x2＋，所以y′＝2x＋＝2x＋. (3)因为y＝，所以y′＝＝. 综合应用1：导数四则运算的实际应用 [例2]日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率． (1)90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c′(x)＝()′ ＝ ＝ ＝. (1)因为c′(90)＝＝52.84， 所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84. (2)因为c′(98)＝＝1 321， 所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321. 导数实际应用的关键点 认真审题，明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的关键． [练2] 已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q. (1)求q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均变化率； (2)求L′(2)并解释它的实际意义． 解：(1)收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2，且p＝25－q≥0，得0<q≤200. 利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q) ＝－q2＋21q－100(0<q≤200). 所以＝20.5. (2)因为L′＝－q＋21，所以L′(2)＝21－＝20.5. L′(2)表示生产数量为2个时，产品数量每增加一个，利润增加20.5元． 综合应用2：求曲线的切线方程 [例3] 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 解：∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式探究] 求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线方程． 解：∵O(0，0)不在曲线y＝ln x上， ∴设切点Q(x0，ln x0)，y′＝， 则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e，∴Q(e，1)，∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． [练3] 函数f(x)＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝ex＋1 D．y＝(e＋1)x＋1 A　解析：由f(x)＝ex＋x，得f′(x)＝ex＋1， 因为函数在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝e0＋1＝2， 所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1. 1．知识清单 (1)导数的四则运算法则． (2)导数四则运算的实际应用． (3)求曲线的切线方程． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对函数求导，没有遵循先化简、再求导数的基本原则． ◎随堂演练 1．设y＝－2ex sin x，则y′＝(　　) A．－2ex cos x B．－2ex sin x C．2ex sin x D．－2ex(sin x＋cos x) D　解析：∵y＝－2ex sin x， ∴y′＝－2ex sin x－2ex cos x＝－2ex(sin x＋cos x). 2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由f′(x)＝3ax2＋6x得f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝. 3．已知函数f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1[f′(x)是f(x)的导函数]，则f′(0)＋f(0)＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　解析：因为f(x)＝3f′(0)x＋x2＋ex－1， 所以f(0)＝e0－1＝0. 又因为f′(x)＝3f′(0)＋2x＋ex， 当x＝0时，f′(0)＝3f′(0)＋2×0＋e0， 解得f′(0)＝－，所以f′(0)＋f(0)＝－. 4．(2024·重庆市巴蜀中学高二期末)已知函数f(x)＝(x－98)(x－99)，则f′(99)＝________． 答案：1　解析：f(x)＝(x－98)(x－99)， 则f′(x)＝2x－197，所以f′(99)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$