4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列通项公式的意义，体会等比数列与指数函数的关系． 知识点一　等比数列的有关概念 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是1，2，4，8，16，32，…. 这组数之间有什么关系？ 细菌分裂过程 等比数列的概念 　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 对等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． [例1] 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2， ∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 判定等比数列的三个要点 (1)从第二项起． (2)要判定每一项，不能有例外． (3)每一项与其前一项的比是同一个常数，且不能为0.　 [练1] (2024·宿迁青华中学质检)已知等比数列{an}满足an＋1＝4an，若a4＋a5＝16，则a3＋a4＝(　　) A． B．1 C．4 D．8 C　解析：因为等比数列{an}满足an＋1＝4an，设等比数列{an}的公比为q， 所以＝4＝q，则a4＋a5＝a3·q＋a4·q＝(a3＋a4)·q＝4(a3＋a4)＝16， 解得a3＋a4＝4. 知识点二　等比中项 在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？ 等比中项 　(1)条件：a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab． 等差中项与等比中项的异同 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 [例2] 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．± B． C．1 D．±1 D　解析：∵1，a，3成等差数列，∴a＝＝2.∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1. 等比中项的关注点 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项． (2)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个. [练2] (2024·邯郸高二期末)若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为(　　) A．32 B．－16 C．±32 D．±16 D　解析：由题，该等比数列为4，8，16，32，…，设第2项与第4项的等比中项为x，则x2＝8×32＝256，故x＝±16. 知识点三　等比数列的通项公式 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？ 等比数列的通项公式 　首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(q≠0). (1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数y＝qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． [例3] (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. (1)C　解析：因为an＝a1qn－1，所以×()n－1＝，即()n＝()5，解得n＝5. (2)解：设公比为q，由题意，得 解得 ∵an＝1，∴32×()n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6. 求a1和q的两种方法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [练3] 在等比数列{an}中，4a5，a7，2a6成等差数列，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 C　解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由于4a5，a7，2a6成等差数列， 所以2a7＝4a5＋2a6，即a7＝2a5＋a6，所以q2＝2＋q，即q2－q＝2， 所以＝＝q2－q＝2. [练4] (2023·济南高二期末)已知在递减等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝1，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 A　解析：因为a2＋a5＝18，a3·a4＝32，所以a3·a4＝a2·a5＝32， 解得或因为数列{an}为递减等比数列， 所以所以q3＝＝，解得q＝， 所以a6＝a5·q＝1，n＝6. 1．知识清单 (1)等比数列的概念． (2)等比中项． (3)等比数列的通项公式． 2．方法归纳：列方程组法． 3．常见误区：并不是任意两个数都有等比中项． ◎随堂演练 1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q＝(　　) A．± B．±2 C． D．－2 D　解析：因为＝q3＝－8，故q＝－2. 2．(2024·玉溪高二期末)“b＝”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 D　解析：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，故必要性不成立； 若b＝，令a＝b＝0，满足b2＝ac，但此时a，b，c不构成等比数列，故充分性不成立． 3．等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________． 答案：　解析：由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得解得 4．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，那么解得 因此，a2＝a1q＝×＝8. 综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8. 学科网（北京）股份有限公司 $$