4.1 第2课时 数列通项公式、递推公式、前n项和及应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　数列通项公式、递推公式、前n项和及应用 学习目标 1.能够运用数列通项公式解决简单问题． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 3．会由数列的前n项和公式求数列通项公式． 知识点一　数列通项公式的应用 [例1] 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*). (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则＝0. 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，＝，解得m＝10. 故数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． [变式探究] 本例中，把“an＝”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题． 解：(1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0.因为n∈N*，所以n＝3，故0是{an}中的第3项． 若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0.因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)， 解得m＝1. 故数列{an}中存在连续且相等的两项，即第1项与第2项． 数列通项公式的应用策略 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项. 知识点二　数列的递推公式 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项． 1．写出这个数列的通项公式． 2．除了通项公式，你还能发现这个数列的项的其他取值规律吗？ 数列的递推公式 　(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． (2)作用：知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项． 1．用递推公式求出一个数列的条件 (1)“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； (2)递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示． 2．数列递推公式与通项公式之间的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式，也可以用推理的方法，求出通项公式 [例2] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1； (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. [练1] (2024·百色高二检测)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式． 解：(1)由a1＝1，an＋1＝an，可得： a2＝a1＝×1＝， a3＝a2＝×＝， a4＝a3＝×＝， a5＝a4＝×＝. (2)猜想：an＝. 知识点三　数列的前n项和 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝ [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝____________． 答案：4n－5　解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.∵a1也适合此等式，∴an＝4n－5. [变式探究] 将本例中“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n＋1”，求数列{an}的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5. 由于当n＝1时，a1＝0≠4×1－5＝－1， 因此an＝ 已知Sn求an的步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)验证此时a1是否等于S1，若是，则可以合并，否则不可． [练2] (2024·南宁高二月考)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则{an}的通项公式an＝________． 答案：　解析：由题意数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n， a1＝3不适合上式，故{an}的通项公式为an＝ 1．知识清单 (1)数列的递推公式． (2)数列的前n项和Sn与an的关系． 2．方法归纳：归纳法． 3．常见误区：由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况． ◎随堂演练 1．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的项的是(　　) A．380 B．392 C．321 D．232 A　解析：当n＝19时，n(n＋1)＝380. 2．(2024·南昌高二期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝则a3＝(　　) A．16 B．12 C．9 D．4 C　解析：已知a1＝1，则a2＝1＋3＝4，a3＝2×4＋1＝9. 3．(2024·泰州联盟五校高二期中)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝　解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋3＋1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－[(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝2n＋2.此时a1＝4≠S1＝5， 所以数列{an}的通项公式为an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$