第4章 专题提升课(二) 数列求和（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数列 专题提升课(二)　数列求和 第四章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 学习目标 1.掌握分组转化法求数列和的方法． 2．掌握错位相减法、裂项相消法等数列求和方法． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 课时梯级训练（13） 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 专题一：分组转化法求和 [例1] (2024·石家庄高二期末)已知数列{an}是等差数列，a3＋a8＝37，a7＝23. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn. (1)在等差数列{an}中设首项为a1，公差为d， 由于a3＋a8＝37，a7＝23. 得解得 所以an＝3n＋2. (2)bn＝an＋2n＝3n＋2＋2n， 则Sn＝[5＋8＋…＋(3n＋2)]＋(21＋22＋…＋2n)＝＋＝＋2n＋1－2. 分组转化法求数列的前n项和 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先将前n项和依等差、等比分组再利用公式求和． [练1] 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　) A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123. [练2] 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 ∵an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝2n＋1＋n2－2. 专题二：错位相减法求和 [例2] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. (1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0. 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2. 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an，化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 当n＝2时，a1＝0. 当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1， 当n＝1，2，3时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*). (2)因为＝，所以Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Tn＝1×()2＋2×()3＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 两式相减得， Tn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1＝－n×()n＋1＝1－(1＋)()n，即Tn＝2－(2＋n)()n，n∈N*. 错位相减法求和的注意点 (1)错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn. (2)利用错位相减法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． [练3] (2023·邯郸高二统考)已知数列{an} 是等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1＝b1＝1，a5＋b3＝13，a2＋b2＝5. (1)求数列{an} ，{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn. (1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则解得 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. (2)cn＝(2n－1)·2n－1， Sn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， 2Sn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， 两式相减得－Sn＝1＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n＝1＋－(2n－1)×2n＝－3＋(3－2n)·2n， 所以Sn＝3＋(2n－3)·2n. 专题三：裂项相消法求和 [例3] 正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)设数列{an}的公差为d(d>0). 由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，化简得d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2. (2)因为Sn＝＝＝n2＋3n， 所以bn＝＝＝＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝. 1．裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2．几种常见的裂项方式 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝(－) ＝－ (a>0，a≠1) loga(1＋)＝loga(n＋1)－logan [练4] (2024·玉林高二统考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－an＝3(n∈N*)，且S3＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)∵an＋1－an＝3，∴数列{an}是以公差为3的等差数列． 又S3＝18，∴3a1＋9＝18，a1＝3，∴an＝3n. (2)由(1)知bn＝＝×(－)，则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 1．知识清单 (1)分组转化法求和． (2)错位相减法求和． (3)裂项相消法求和． 2．方法归纳：分组转化法、错位相减法、裂项相消法． 3．常见误区 (1)错位相减法中要注意项的符号以及化简合并． (2)裂项求和法中要关注正项与负项的个数是否相同． ◎随堂演练 1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1. 2．(2024·达州统考)在递增等差数列{an}中有a1＋a5＝6，a2a4＝8，则＋＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 由题意得 解得或因为{an}是递增等差数列，所以a2＝2，a4＝4，所以an＝n. 即＋＋＋…＋＝＋…＋， 令bn＝＝－，则原式为求bn的前100项和， 故原式＝＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝. 3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝________． 答案：－200　 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 4．求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1)的值． 设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.② 由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，∴Sn＝－. $$