4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数列 4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 第四章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 学习目标 1.探索并掌握等比数列前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 A 2 8 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 课时梯级训练（10） 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 知识点一　等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 1．一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1)一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 2．两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． 3．等比数列前n项和公式的推导过程，体现的是“错位相减”的方法． [例1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知解得 则S5＝＝. 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，则S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 可得或 又Sn＝＝126，所以q的值为2或. 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． [练1] (2024·重庆巴蜀中学期末)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且S8＝17S4，则S3＝(　　) A．6 B．6或14 C．－6或14 D．2或6或14 设等比数列{an}的公比为q， 则当S4＝0时，q＝－1，所以S3＝2. 当S4≠0时，若q＝1，则＝＝2≠17， 所以q≠1， S8＝＝17×＝17S4，即1－q8＝17(1－q4)， 又因为q≠1，所以1＋q4＝17，解得q4＝16， 所以q＝±2，所以S3＝＝6或14， 综上，S3＝2或6或14. [练2] (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 答案：－　 由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1， 所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7， 解得q＝－. 知识点二　等比数列前n项和的性质 等比数列前n项和的有关性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0). (3)数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇒数列{an}为等比数列． [例2] (1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________． (1)因为等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以4，2，S6－6成等比数列，即22＝4(S6－6)，解得S6＝7. (2)设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，由等比数列前n项和的有关性质可得＝q，得q＝2，所以＝85，4n＝256，故得n＝4，故项数为8. 运用等比数列前n项和性质解题的策略 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键． [练3] (2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 方法一　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则，化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85. 方法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－86)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85. [练4] 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式． 设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶． 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×()n－1. 1．知识清单 (1)等比数列前n项和及其计算公式． (2)等比数列前n项和的性质及应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、整体思想． 3．常见误区：利用求和公式求和时易漏掉对公比是否为1进行讨论而致错． ◎随堂演练 1．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为(　　) A．an－1 B．an C．(n－1)a D．na 既是等差数列又是等比数列的数列为常数列． 2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A． B． C． D． 当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝. 3．在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若Sn＝6，S3n＝78，则S5n＝(　　) A．786 B．240 C．486 D．726 因为{an}为等比数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列． 设S2n＝x，因为Sn＝6，S3n＝78，所以6，x－6，78－x成等比数列． 由(x－6)2＝6(78－x)，解得x＝24或x＝－18(舍去)， 所以数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的公比为3. 因为Sn＝6，S2n－Sn＝18，S3n－S2n＝54， 所以S4n－S3n＝162，S5n－S4n＝486， 故S4n＝240，S5n＝726. $$