4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数列 4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式 第四章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义，体会等差数列与一元一次函数的关系． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 2 前一项 同一个 常数 公差 d 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 2A＝a＋b 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 a1＋(n－1)d 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an 知三 求一 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 课时梯级训练（4） 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 知识点一　等差数列的有关概念 某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20, 22, 24, 26, 28, ….第30排有多少个座位？ 等差数列的概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的____，公差通常用字母__表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*). 对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)“同一常数”是指全部的后项减去前一项的差都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． [例1] 根据下列数列的通项公式，判断是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判断等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [练1] (2024·合肥第一中学月考)已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－(n∈N*).求证：{}是等差数列． 因为－＝－＝－＝(n∈N*)，为常数， 所以{}是公差为的等差数列． 知识点二　等差中项 等差中项 (1)条件：a，A，b成等差数列． (2)结论：A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式：__________． [例2] 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． ∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. ∵a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. ∵c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 等差中项公式的作用 a，b，c三个数成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). [练2] 已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________________． 答案：5，－1，－4　 因为8，a，2，b，c是等差数列， 所以解得 知识点三　等差数列的通项公式 若已知等差数列的首项a1和公差d及项数n，能否推出等差数列的通项公式？若能，则如何推导？ 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________． 1．等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．反之，若数列的通项公式an是关于n的一次函数形式，则数列{an}一定是等差数列． 2．等差数列通项公式中的四个参数及其关系 [例3] (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是不是该数列的项． (1)设{an}的公差为d. 由题意知解得 所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. (2)依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10， ∴－34是数列{an}的第10项． 求等差数列通项公式的步骤 [练3] (2024·济南高二期末)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 024的值； (2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？ (1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由a2＋a5＝24，a17＝66，即解得 则数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2. 则a2 024＝4×2 024－2＝8 094. (2)令an＝4n－2＝2 026，解得n＝507，所以2 026是数列{an}中的第507项． 1．知识清单 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式． (3)等差数列的判定与证明． 2．方法归纳：列方程组法． 3．常见误区：对等差数列的概念理解不透彻． ◎随堂演练 1．等差数列{1－3n}的公差d等于(　　) A．1 B．3 C．－3 D．n ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3. 2．已知等差数列－5，－9，－13，…，则下列属于该数列的项的是(　　) A．－23 B．－31 C．－33 D．－43 根据题意，设该数列为{an}，其前几项为－5，－9，－13，…， 则该数列首项为－5，公差为d＝－9－(－5)＝－4，故an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1， 由此分析选项， 对于A，若an＝－4n－1＝－23，n没有正整数解，不符合题意； 对于B，若an＝－4n－1＝－31，n没有正整数解，不符合题意； 对于C，若an＝－4n－1＝－33，解得n＝8，符合题意； 对于D，若an＝－4n－1＝－43，n没有正整数解，不符合题意． 故选C. 3．(2024·合肥高二期中)在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝－2，am＝－89，则m等于(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 因为am＝a1＋(m－1)d，即1－2(m－1)＝－89，所以m＝46. 4．已知{an}是等差数列(n∈N*)，若a1＝2，a5＝－14. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：{an＋1＋an}是等差数列． (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝2，a5＝－14， 所以d＝＝－4， 所以an＝a1＋(n－1)×(－4)＝－4n＋6，n∈N*. (2)因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝－8， 所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列． $$