4.1 第3课时 数列的概念与表示(习题课)（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数列 第3课时　数列的概念与表示(习题课) 第四章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 学习目标 1. 会由递推公式探求数列的周期性． 2．掌握由数列的递推公式求通项公式的基本方法． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 ACD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 课时梯级训练（3） 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 知识点　数列递推公式的应用 综合应用1：由递推公式探求数列的周期性 [例1] (2024·哈尔滨六校联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－(n∈N*)，则a2 024＝(　　) A．－ 　B．0 C． D．2 由a1＝，an＋1＝－， 可得a2＝－＝－＝0， a3＝－＝－＝－， a4＝－＝－＝＝a1， 因此{an}为周期数列，且周期为3， 故a2 024＝a2＝0. 由递推公式探求周期的思路 解决数列周期性问题，要根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或前n项的和． [练1] (2024·南昌高二期末)已知正整数数列{an}满足an＋1＝则当a1＝8时，a2 021＋a2 022＋a2 023＝________． 答案：7　 由题意a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，a7＝1，…， 数列{an}从第二项起是周期数列，周期为3， 所以a2 021＝a2＝4，a2 022＝a3＝2，a2 023＝a4＝1， 所以a2 021＋a2 022＋a2 023＝1＋2＋4＝7. 综合应用2：累加法求数列通项公式 [例2] 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N*，求数列的通项公式an. ∵an＋1－an＝－， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…， an－an－1＝－(n≥2，n∈N*)， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(1－)＋(－) ＋…＋(－)， 即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*). ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*). ∵当n＝1时，a1＝－1也符合上式． ∴an＝－，n∈N*. 累加法求数列通项公式 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式，此方法叫累加法． [练2] (2024·贺州高二期末)在数列{an}中，a1＝2，且an＝an－1＋lg (n≥2)，则a100＝________． 答案：4　 由题意可得an－an－1＝lg ， 所以a2－a1＝lg ，a3－a2＝lg ，…，a100－a99＝lg ， 累加得a100－a1＝lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg (××…×)＝lg 100＝2， 所以a100＝2＋a1＝4. 综合应用3：累乘法求数列通项公式 [例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求通项公式an. ∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝， ∴an＝···…···a1 ＝··×…×××1＝. ∵当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴an＝(n∈N*). 累乘法求数列通项公式 形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式，此方法叫累乘法． [练3] 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明． 由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2×22＝23， a4＝2a3＝2×23＝24. 猜想an＝2n(n∈N*).证明如下： 由a1＝2，an＋1＝2an， 得＝＝…＝＝＝2(n≥2，n∈N*). 即an＝··…···a1＝2×2×…×2×2＝2n. 当n＝1时，a1＝21＝2，满足上式，故an＝2n(n∈N*). 1．知识清单 (1)由递推公式探求数列的周期性． (2)由数列递推公式求通项公式． 2．方法归纳：归纳法，累加法，累乘法． 3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合n≥2时的通项公式． ◎随堂演练 1．(多选)(2024·重庆阶段测试)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，∀n∈N*，an＋2＝an＋1－an，Sn为{an}的前n项和，则S2n的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．5 ∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an， ∴a3＝a2－a1＝2，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－2，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝3，…， ∴{an}为以6为周期的数列，且S6＝1＋3＋2－1－3－2＝0， 而∀n∈N*，2n被6除的余数只能为0，2，4， ∴S2n的值只能为S2＝1＋3＝4，S4＝1＋3＋2－1＝5，S6＝0. 2．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) ∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2. 当n＝1时，a1＝1也符合上式．所以an＝3n－2(n∈N*). 3．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝__________． 答案：()n－1　 方法一　由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝. 方法二　an＝··…···a1＝()n－1×1＝()n－1. $$