4.1 第1课时 数列的概念与表示（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 第四章 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 学习目标 1.借助实例了解数列的相关概念和表示方法． 2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项． 3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 确定的顺序 数列 按照__________排列的一列数称为数列 项 数列中的________叫做这个数列的项 第n项 第n个位置上的数 首项 数列的______常称为首项 每一个数 第1项 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 {an} 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 有限 无限 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 大于 小于 相等 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 正整数集N* an＝f(n) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 通项公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 A 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 课时梯级训练（1） 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 A　 知识点一　数列的概念 1．{1，2，3，…}与1，2，3，…表示的意义相同吗？ 2．如果不相同，那么它们的区别是什么呢？ 1．数列的有关概念 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，…，an，…； (2)简记为____． 3．数列的分类 (1)按项数分类 类别 含义 有穷数列 项数____的数列 无穷数列 项数____的数列 (2)按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 常数列 各项都____的数列 对数列相关概念的辨析 (1)数列中项与项之间用“，”隔开． (2)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． (3)数列中的项与项的序号是不同的．数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的具体位置． ACD [练1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． [练2] 下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)0，－1，2，－3，4，－5，…. (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 知识点二　数列与函数的关系、数列的通项公式 数列{an}中的每一项an与它的序号n有下列的对应关系： 问数列与函数有什么关系？ 1．数列与函数的关系 数列{an}是从____________ (或它的有限子集{1，2，…， n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为____________． 2．数列的表示方法 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示． 数列是以正整数为自变量的特殊函数，在解决数列问题时，要善于利用函数知识、函数观点、函数的思想方法． 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________． (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n(n∈N*)还可以写成an＝(－1)n＋2(n∈N*)的形式等． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． [例1] 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项为下列各数． (1)1，2，3，4，…； (2)11，102，1 003，10 004，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－1，，－，，…. (1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式为an＝n＋＝. (2)这个数列可以改写为10＋1，100＋2，1 000＋3，10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式为an＝10n＋n. (3)这个数列可以改写为10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)可知其分母为n，其分子是－1，1交替出现，故分子可为(－1)n，所以该数列的一个通项公式为an＝. 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系. (2)如果关系不明显，可将各项同时加上(减去)一个数或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [练3] 根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)－3，7，－15，31，…； (3)2，6，2，6，…. (1)数列的项均是分数且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以该数列的一个通项公式为an＝. (2)数列的项正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(2n＋1－1). (3)此数列为摆动数列，两数的平均数为＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示， 所以该数列的一个通项公式为an＝4＋2×(－1)n. [例2] 已知数列{an}的通项公式为an＝， (1)写出数列的前4项； (2)画出它的图象，并判断增减性． (1)由于an＝，令n＝1，2，3，4，可得此数列的前4项分别是a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2. (2)此数列的图象如图所示， 由图象可知，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． [变式探究] 若将本例数列通项公式改为an＝(n∈N*)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？请作出判断并求出来． an＝＝1＋.当n≤9时，an<1且逐渐减小；当n≥10时，an>1，且逐渐减小．故数列{an}在{1，2，3，…，9}上是递减的，在{10，11，…}上也是递减的．数列{an}有最大项和最小项，其最大项为a10＝，最小项为a9＝. 由通项公式解决问题的思路 (1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行赋值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． (2)利用数列的通项公式判断数列的增减性 数列的通项公式可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性． [练4] (2024·南开区高二质量监测)已知数列{an}满足an＝n＋，则an的最小值为____________． 答案：　 an＝n＋≥2＝2，但n＝，n2＝33没有正整数解， 所以等号不成立． 因为5<<6， a5＝5＋＝，a6＝6＋＝，a5>a6， 所以an的最小值为. 1．知识清单 (1)数列的有关概念． (2)数列的分类． (3)函数与数列的关系． (4)数列的通项公式． 2．方法归纳：观察、归纳、猜想． 3．常见误区 (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面． (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． ◎随堂演练 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) ①同一数列的任意两项不可能相同；②数列－1, 0, 1与数列1, 0, －1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ ①是错误的，例如无穷多个4构成的常数列4，4，4，…的各项都是4；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的值不同，即表示不同的数列；③是正确的． 2．已知数列{an}的通项公式an＝n2(n∈N*)，则数列{an}的图象是(　　) A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 因为n∈N*，所以an＝n2的图象是一群孤立的点． 3．已知an＋1－an－3＝0，n∈N*，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 an＋1＝an＋3>an，n∈N*，即该数列每一项均小于它的后一项，故数列{an}是递增数列． 4．(2024·邢台重点高中期末)已知某数列为－2，，－，，－，…，按照这个规律，则该数列的第10项是(　　) A．－ B． C．－ D． 由题意，数列－2，，－，，－，…，可化为－，，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n，所以该数列的第10项是a10＝. $$