课时梯级训练(22) 直线与方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(22)　直线与方程 1．过点(－，5)且倾斜角为150°的直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝－x＋4 C．y＝x＋8 D．y＝x＋6 B　解析：依题意，直线l的斜率k＝tan 150°＝－，所以直线l的方程为y－5＝－(x＋)， 即y＝－x＋4. 2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2，故a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件． 3．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 A　解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 4．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　) A.(，) B．(，－) C．(，－) D．(－，) B　解析：∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝时，mx＋n＝m＋n＝，∴3y＝－，∴y＝－，故直线过定点(，－).故选B. 5．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案：l1⊥l2　解析：将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，∵kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 6．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是____________. 答案：3x＋4y＋5＝0　解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为____________． 答案：x＋y＝0或x＋y－10＝0　解析：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.设所求直线为l4，则l4∥l3，所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝0或c＝－10，所以所求直线的方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 8．已知光线从点A(－5, －2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－2, 6)，求BC所在的直线方程． 解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－5)，D′(2, 6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即11x－4y＋2＝0. 9．等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标． 解：设直角顶点为C，C到直线y＝3x的距离为d. 则·d·2d＝10，∴d＝. 又直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，∴l的方程为y＋2＝(x－4)，即x－2y－8＝0. 设l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线， 则l′与l的交点就是C点， 设l′的方程是3x－y＋m＝0， 则＝， ∴m＝±10，∴l′的方程是3x－y±10＝0， 由方程组及 得C点坐标是(，－)或(－，－). 10．(多选)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l2过定点(－3，－1) B．当m＝1时，l1⊥l2 C．当m＝2时，l1∥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1 ACD　解析：对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令则因此直线l2过定点(－3，－1)，A项正确；对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，因为4×3＋(－3)×(－2)≠0，故两直线不垂直，故B项错误；对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2: 4x－3y＋9＝0，＝≠，故两直线平行，C项正确；对于D，当l1∥l2时，则满足＝≠⇒m＝2，此时l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，则两直线距离为＝1，故D项正确．故选ACD. 11．已知实数a，b，c，d满足＝＝，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________． 答案：　解析：∵实数a，b，c，d满足＝＝，∴3a－4b＝0，3c－4d＋9＝0，∴点(a，b)在直线3x－4y＝0上，点(c，d)在直线3x－4y＋9＝0上，∴(a－c)2＋(b－d)2的几何意义就是直线3x－4y＝0上的点到直线3x－4y＋9＝0上点的距离的平方，故所求最小值为()2＝. 12．已知△ABC的顶点A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别是x＝0，y＝x，求BC边所在的直线方程． 解：如图，设点A关于直线BO，CD的对称点分别为A1，A2.因为A(3，－1)，且∠B的平分线方程为x＝0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(－3，－1). 又因为∠C的平分线CD的方程为y＝x，所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(－1，3). 而A1(－3，－1)，A2(－1，3)两点都在直线BC上，由此可得直线BC的方程为2x－y＋5＝0. 13．已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)，同理可得点M关于y轴的对称点M2(－3，5)，如图所示． 根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q(0，)， 解方程组得两直线的交点P(，). 所以点P的坐标为(，)，点Q的坐标为(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$