课时梯级训练(18) 直线的一般式方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(18)　直线的一般式方程 1．直线x＋y＋4＝0的倾斜角是(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° A　解析：直线x＋y＋4＝0可化为y＝－x－，故此直线的斜率为－＝－，所以直线x＋y＋4＝0的倾斜角为150°. 2．如果Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足的条件是(　　) A．BC＝0 B．A≠0 C．BC＝0，且A≠0 D．A≠0，且B＝C＝0 D　解析：y轴所在直线的方程可表示为x＝0，所以A，B，C满足条件为B＝C＝0，A≠0. 3．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是(　　) C　解析：由ac<0，bc<0，∴abc2>0，∴ab>0，∴斜率k＝－<0，又纵截距－>0，故选C. 4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　) A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0 C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0 A　解析：∵A－2B＋3C＝0，即A－B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C＝0过点(，－)，则直线方程为y＋＝5(x－)，即15x－3y－7＝0. 5．(2023·南通高二期中联考)已知直线l1：ax＋y－2＝0和直线l2：3x－(a＋1)y＋1＝0垂直，则a＝________． 答案：　解析：由题意知直线l1：ax＋y－2＝0和直线l2：3x－(a＋1)y＋1＝0， 故3a＋1×[－(a＋1)]＝0，解得a＝. 6．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m＋n＝________． 答案：－7　解析：将方程mx＋ny＋1＝0化为斜截式得y＝－x－.由题意得－＝－，且－＝，解得m＝－4，n＝－3.故m＋n＝－7. 7．(2024·德州高二期中)已知直线l1：(m＋2)x＋my－6＝0和直线l2：mx＋y－3＝0，其中m为实数． (1)若l1⊥l2，求m的值； (2)若点P(1，2m)在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 解：(1)由题意得m(m＋2)＋m＝0，解得m＝－3或m＝0. (2)由P(1，2m)在直线l2上，得m＋2m－3＝0，解得m＝1，可得P(1，2)， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， 令x＝0，可得y＝2－k，再令y＝0，可得x＝， 所以＝－(2－k)，解得k＝2或k＝1， 所以直线l的方程为y－2＝2(x－1)或y－2＝x－1， 即2x－y＝0或x－y＋1＝0. 8．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1). 解：(1)∵直线过点P′(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1. 又m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1. (2)由斜率为1，得解得m＝. (3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝或m＝－2. 9．(多选)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　) A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 BC　解析：对于A，将(，－2)代入l：x－y－1＝0，可知不满足方程，故A项不正确；对于B，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，所以k＝，故B项正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线l的倾斜角为60°，故C项正确；对于D，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，直线在y轴上的截距为－1，故D项不正确．故选BC. 10．(多选)(2024·淮安高二期中)关于直线l：ax＋y＋a＝0，以下结论正确的有(　　) A.当a＝1时，直线l在两坐标轴上的截距相等 B．直线l必过第二象限 C．当a<0时，直线l不过第四象限 D．当a>0时，直线l过第二、三、四象限 ACD　解析：对于A，当a＝1时，l的方程化为y＝－x－1，令x＝0得直线l的纵截距为－1， 令y＝0得直线l的横截距为－1，即直线l在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当a＝0时，l：y＝0，直线不过第二象限，错误； 对于C，当a<0时，将l的方程化为y＝－ax－a＝－a(x＋1)， 所以不论a为何值，直线l恒过定点(－1，0)，令x＝0得直线l的纵截距为－a>0， 且直线斜率－a>0，所以直线l不过第四象限，正确； 对于D，当a>0时，直线l的斜率－a<0，令x＝0得直线l的纵截距为－a<0， 直线l恒过定点(－1，0)，所以直线l过第二、三、四象限，正确． 故选ACD. 11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________. 答案：[，π)　解析：因为k＝－，所以－1≤k<0，所以该直线倾斜角的取值范围是[，π). 12．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是____________． 答案：x＋y－5＝0　解析：由x－y＋1＝0得A(－1，0)，P(2，3).又|PA|＝|PB|，所以P为线段AB中垂线上的点，且B(5，0).PB的倾斜角与PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB的斜率kPB＝－1，则方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 13．已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求斜边上的中线的方程． 解：(1)∵Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)， ∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1. 又A(－3，0)，∴kAB＝＝－，∴kBC＝， ∴直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0. ∵点C在x轴上，∴由y＝0得x＝3，即C点的坐标为(3，0). (2)由(1)得C(3，0)，∴AC的中点为(0，0)， ∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)， 又直线OB的斜率k＝2，∴直线OB的方程为y＝2x. 14．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A(a，0)(其中a∈R)和B(0，1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为________. 答案：1　解析：根据题意可知机器人在线段AB的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，因此kAB·kl＝－1，即×1＝－1，解得a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$