课时梯级训练(17) 直线的两点式方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　直线的两点式方程 1．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则(　　) A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限 B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限 C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限 D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限 B　解析：依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，根据图象(图略)可知直线l只能过第二、三、四象限，而不过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　　) A．－ B．－ C． D．2 A　解析：直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－. 3．经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．－＝1 D　解析：直线在x轴上的截距设为a，由题意知直线在y轴上的截距为－2，所以－2＋a＝2，即a＝4.故直线方程为－＝1. 4．两直线－＝1与－＝1的图象可能是(　　) A B 　 　 C D B　解析：直线－＝1的斜率为k1＝－＝，直线－＝1的斜率为k2＝－＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意．故选B. 5．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________． 答案：±2　解析：由＋＝1知S＝|a|·|6|＝6，所以a＝±2. 6．已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为____________． 答案：2x－y＋1＝0　解析：由题意可知AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0. 7．经过点A(1，3)和B(a，4)的直线方程为__________． 答案：x－(a－1)y＋3a－4＝0　解析：当a＝1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x＝1； 当a≠1时，由两点式得＝， 整理得y＝x＋. 在这个方程中，当a＝1时，方程也为x＝1， 所以所求的直线方程为x－(a－1)y＋3a－4＝0. 8．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A(－3，4)，求直线l的方程． 解：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4， 它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 则|3k＋4||－－3|＝3，显然k>0时不成立． 解得k1＝－，k2＝－. 所以直线l的方程为y＝－(x＋3)＋4或y＝－(x＋3)＋4. 9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程． 解：(1)设点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上． 由中点坐标公式得解得 ∴点C的坐标为(1，－3). (2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M(0，－)，N(，0)， 由直线方程的截距式，得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－. 10．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　) A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值 C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值 D　解析：线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(1－)(0≤x≤3)，从而xy＝4x(1－)＝－(x－)2＋3，显然当x＝∈[0，3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0. 11．(2024·宜荆荆随高二10月联考)直线l：＋＝1过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 B　解析：因为直线l：＋＝1过点A(2，3)，所以＋＝1， 令x＝0，可得y＝n，即直线l与y轴交于点(0，n)， 令y＝0，可得x＝m，即直线l与x轴交于点(m，0)， 依题意可得m>0，n>0，所以＋＝1≥2，则mn≥24，当且仅当＝，即m＝4，n＝6时等号成立， 所以直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积S＝mn≥12，当且仅当m＝4，n＝6时等号成立， 即直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积最小值为12. 故选B. 12．(多选)(2024·无锡太湖高级中学高二期中)直线l过点A(2，1)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．0 ACD　解析：当直线l过原点时，设直线方程为y＝kx，则1＝2k，解得k＝，此时在y轴上的截距为0； 当直线l不过原点且截距相同时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝3， 此时在y轴上的截距为3； 当直线l不过原点且截距相反时，设直线方程为－＝1，则－＝1，解得a＝1， 此时在y轴上的截距为－1. 综上所述，截距可能为0，－1，3. 故选ACD. 13．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是____________． 答案：(－∞，－1)∪(，＋∞)　解析：设直线l的斜率为k，如图， 过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪(，＋∞). 14．直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件？ (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0). 若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.① 又直线过点P(，2)，∴＋＝1.② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，③ 由题意得＋＝1，④ 由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得或 故所求直线的方程为＋＝1或＋＝1. 综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为＋＝1. 15．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程． 解：作点A关于x轴的对称点A′，显然，A′的坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线． 由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4. 同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，连接AB′(图略)，则AB′所在直线即为入射光线． 由两点式可得直线AB′的方程为＝， 即y＝2x－4， ∴入射光线所在直线方程为y＝2x－4，反射光线所在直线方程为y＝－2x＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$