课时梯级训练(16) 直线的点斜式方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　直线的点斜式方程 1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 B　解析：该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 B　解析：∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示．由图知，k>0，b<0. 3．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能正确的是(　　) A　解析：在选项B，C中，b1>b2，不符合题意；在选项D中，k1<k2，故D错误． 4．已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．±2 C　解析：∵l1∥l2，∴a2－3＝1，∴a＝±2.又∵l1∥l2，∴两直线l1与l2不能重合，则a≠1，即a≠2，故a＝－2. 5．(2024·保定定州高二期中)一条光线从点P(5，8)射出，与y轴相交于点Q(0，－1)且被y轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：P(5，8)关于y轴的对称点为P′(－5，8)，则反射光线所在直线为P′Q， 因为kP′Q＝＝－，所以反射光线所在直线的方程为y＋1＝－x， 令y＝0，解得x＝－，所以反射光线所在直线在x轴上的截距为－. 故选B. 6．(2024·台州第一中学高二期中)已知直线l的方程为y＝x＋4，则倾斜角为________，在y轴上的截距为________． 答案：60°　4　解析：直线l的方程为y＝x＋4的斜率k＝，令其倾斜角为α，则tan α＝，所以α＝60°； 当x＝0时，y＝4，所以直线l在y轴上的截距为4. 7．(1)已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程； (2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程． 解：(1)∵直线y＝(x－1)的斜率为， ∴其倾斜角为60°，且过点(1，0). 又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，如图所示． 易知直线l的倾斜角为30°或90°. 故直线l的方程为y＝(x－1)或x＝1. (2)由题意知，kBC＝＝. 因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，且kAD＝－. 故直线AD的方程为y＋4＝－(x－1). 8．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，直线l与x轴交点坐标为(a，0)，且a比直线在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程． 解：由题意知，直线l的斜率为. 故设直线l的方程为y＝x＋b. 由a＋b＝0得a＝－b，在y轴上的截距为b， 所以－b－b＝1，解得b＝－， 所以直线l的斜截式方程为y＝x－. 9．直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1，3) B．(－1，－3) C．(3，1) D．(－3，－1) C　解析：直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 10．(2024·武汉部分重点中学高二期中联考)一束光线从点A(－，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在的直线方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x＋2 D．y＝x－2 D　解析：倾斜角为150°的直线，斜率为－，所以入射光线为y－3＝－(x＋)，即y＝－x＋2. 令y＝0，解得x＝2，所以入射光线与x轴的交点为(2，0)， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为y－0＝(x－2)，即y＝x－2. 故选D. 11．若原点在直线l上的射影是P(－2，1)，则直线l的点斜式方程为________________． 答案：y－1＝2(x＋2)　解析：由题意可知直线OP的斜率为－，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2，∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x＋2). 12．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(，－1)； (2)在y轴上的截距是－5. 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°. 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. (1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，∴所求直线方程是y＋1＝(x－). (2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5. 13．(2024·广州第三中学高二期中联考)在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0，0)，B(3，)，C(4，0). (1)求点D的坐标，并证明平行四边形ABCD为矩形； (2)求CD边所在的直线方程及∠ABC的内角平分线所在的直线方程． (1)证明：如图所示， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝， 设D(x，y)，则(3，)＝(4－x，－y)，解得所以D(1，－). 又因为kAB＝，kAD＝－，所以kAB×kAD＝－1，所以AB⊥AD， 所以四边形ABCD是矩形． (2)解：kCD＝kAB＝，所以直线CD：y－0＝(x－4)， 即x－y－4＝0 ； 设∠ABC的角平分线与x轴交于点E，求得AB＝2，BC＝2，AC＝4， 所以∠BAC＝30°，∠ABC＝90°.又BE为角平分线，所以∠ABE＝45°， 所以直线BE的倾斜角∠BEC＝∠ABE＋∠BAC＝75°， 所以直线BE的斜率k＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝2＋， 所以直线BE：y－＝(2＋)(x－3)， 即(2＋)x－y－6－2＝0. 14．当－1<x<1时，直线l：y＝mx＋1在x轴上方，求实数m的取值范围． 解：由题意得，当－1<x<1时，y>0. 如图所示，只需点A(－1，－m＋1)，B(1，m＋1)在x轴上方或在x轴上， 联立解得－1≤m≤1， 即实数m的取值范围是[－1，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$