课时梯级训练(15) 两条直线平行和垂直的判定（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　两条直线平行和垂直的判定 1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为(　　) A． B．a C．－ D．－或不存在 D　解析：当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－.当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在． 2．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 C　解析：kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．故此三角形是以A点为直角顶点的直角三角形． 3．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　) A．20°，110° B．70°，70° C．20°，20° D．110°，20° A　解析：如图，∵l∥l1，∴l1的倾斜角为20°， ∵l2⊥l，∴l2的倾斜角为90°＋20°＝110°. 4．(多选)(2024·济南第十一中学高二期中)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　) A．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2 ABC　解析：对于A，若两直线斜率k1＝k2，则它们的倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2＝－1，则l1⊥l2，正确； 对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1＝α2，则 l1∥l2，正确； 对于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝，α2＝， 则k1＝tan α1＝，k2＝tan α2＝－，不满足k1k2＝－1，l1，l2不垂直，D错误， 故选ABC. 5．小明研究一张坐标纸中四点A(－4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn＝__________． 答案：－5　解析：因为直线AB与CD的方向向量互相垂直，所以直线AB与CD的斜率之积为－1. 又A(－4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)， 所以·＝－1，整理得mn＝－5. 6．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线满足下列条件？ (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，解得m＝－或m＝1. (2)由kAB＝，且＝3，则＝－，解得m＝或m＝－3. (3)由题意可知直线AB斜率存在．令＝＝－2，解得m＝或m＝－1. 7．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值． 解：如图所示， 直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 又直线AB的斜率kAB＝＝， 所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝. 因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋. 8．(多选)(2024·浙江杭师大附中高二期中)下列直线l1，l2互相垂直的是(　　) A．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B B．l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6) C．l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3) D．l1的斜率为2，l2经过点U(1，2)，V(4，8) ABC　解析：对于A，l2的斜率为k＝＝，因为－×＝－1，所以l1⊥l2成立，故A正确； 对于B，l1的斜率为k1＝tan 45°＝1，l2的斜率为k2＝＝＝－1，由k1k2＝－1， 则l1⊥l2成立，故B正确； 对于C，l1的斜率为k1＝＝－，l2的斜率为k2＝＝，由k1k2＝－1， 则l1⊥l2成立，故C正确； 对于D，l2的斜率为k＝＝2，由2×2＝4≠－1，所以l1⊥l2不成立，故D错误． 故选ABC. 9．(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，则下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) BCD　解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选BCD. 10．(2024·深圳名校高二联考)已知点A(1，2)，B(2，3)，点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标：________． 答案：(3，0)(答案不唯一，(3，0)，(5，0)任意一个都可以)　解析：设C(x，0)，易知当x＝1或x＝2时，不合题意， 因此当x≠1且x≠2时，可得kAB＝＝1，kAC＝－，kBC＝－， 当A为直角时，kAB·kAC＝1·＝－1，得x＝3，C的坐标为(3，0). 当B为直角时，kAB·kBC＝1·＝－1，得x＝5，C的坐标为(5，0). 当C为直角时，kAC·kBC＝·＝－1，化简得x2－3x＋8＝0，该方程无解． 综上可得，C的坐标为(3，0)或(5，0). 11．已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标； (2)试判断▱ABCD是否为菱形． 解：(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以D的坐标为(－1，6). (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 12．(2024·四川部分名校高二期中)已知A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1). (1)若直线AB与CD平行，求m的值； (2)若△ABC为直角三角形，求m的值． 解：(1)依题意可得kAB＝kCD， 即＝，解得m＝. 又kAB＝＝－，kAD＝＝－， 所以kAB≠kAD，所以A，B，C，D四点不共线， 所以m＝. (2)若A为直角，则kABkAC＝－1，即×＝－1， 解得m＝12. 若B为直角，则kABkBC＝－1，即×＝－1， 解得m＝－1. 若C为直角，则kACkBC＝－1，即×＝－1， 解得m＝. 综上，m的值为－1或12或. 学科网（北京）股份有限公司 $$