课时梯级训练(14) 倾斜角与斜率（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　倾斜角与斜率 1．下列各图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是(　　) A．①④ B．①② C．①③ D．②④ C　解析：①③中直线的倾斜角为α，故选C. 2．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角α为(　　) A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150° C　解析：由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，故直线l的倾斜角为60°或120°. 3．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　解析：当l向上方向的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D. 4．若过点P(－1，0)的直线与以A(1，2)，B(－2，)为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． D　解析：设过点P的直线与线段AB的交点为Q(x，y)，如图所示： 当点Q从点A向点B运动时，则直线PQ的倾斜角越来越大， 当点Q与点A重合时，直线PQ的倾斜角的最小值为∠APO， 由直线倾斜角与斜率的关系可知tan ∠APO＝kPA＝＝1， 所以∠APO＝， 当点Q与点B重合时，直线PQ的倾斜角的最大值为∠BPO， 由直线倾斜角与斜率的关系可知tan ∠BPO＝kPB＝＝－， 所以∠BPO＝.又注意到当点Q从点A向点B运动时，∠QPO是连续变化的， 因此满足题意的直线PQ的倾斜角取值范围为.故选D. 5．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是__________． 答案：[0，2]　解析：如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 6．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________. 答案：0　解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0. 7．若n＝(－，1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角为________． 答案：　解析：由n＝(－，1)是直线l的一个法向量，可知直线l的一个方向向量为(1，).设直线l的倾斜角为α，可得直线l的斜率k＝tan α＝.所以直线l的倾斜角α＝. 8．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2. ∴kAB＝kAC. ∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A， ∴直线AB与直线AC为同一直线． ∴A，B，C三点共线． 9．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 解：当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. ①当m>1时，k＝>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°<α<90°}． ②当m<1时，k＝<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是{α|90°<α<180°}． 综上，当m＝1时，直线斜率不存在，倾斜角α＝90°；当m＞1时，直线斜率k＝，倾斜角α的取值范围为0°＜α＜90°；当m＜1时，直线斜率k＝，倾斜角α的取值范围为90°＜α＜180°. 10．(多选)(2024·成都高二期中联考)若直线l的斜率为m2－2m，则直线l的倾斜角可能为(　　) A． B． C． D． AD　解析：记直线l的倾斜角为α，斜率为k， 则k＝(m－1)2－1≥－1，即tan α≥－1， 由正切函数图象可得α∈∪. 故选AD. 11．若直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到直线l上，那么直线l的斜率是________． 答案：－　解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，故l的斜率k＝kPQ＝＝－. 12．(2024·泸州高二期中联考)已知直线m的斜率为6，直线n的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍，则直线n的斜率为__________． 答案：－　解析：设直线m的倾斜角为α，则直线n的倾斜角为2α， 又直线m的斜率为6，即tan α＝6， 所以直线n的斜率为tan 2α＝＝＝－. 13．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为________． 答案：60°　解析：点A(－2，)关于x轴的对称点为A′(－2，－)，由物理知识知kBC＝kA′C＝＝，所以光线BC所在直线的倾斜角为60°. 14．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率． 解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角都是60°， 斜率都是tan 60°＝.因为DC∥OB， 所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0； 由菱形的性质知，∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC的倾斜角为30°， 斜率kOC＝tan 30°＝， 直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°， 斜率kBD＝tan 120°＝－. 15．已知实数x，y满足一次函数y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值． 解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2). 由于的几何意义是直线OP的斜率， 且kOA＝2，kOB＝， 所以可求得的最大值为2，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$