课时梯级训练(12) 用空间向量研究夹角问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　用空间向量研究夹角问题 1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：设α与l所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝||＝，故直线l与α所成角的余弦值为＝. 2.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ACB＝，若AA1＝2AC＝2BC＝2，则异面直线B1C与A1B所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由题意得，CC1⊥平面ABC，CA⊥CB，以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，B1(0，1，2)，所以B1C＝(0，－1，－2)，A1B＝(－1，1，－2).设异面直线B1C与A1B所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈B1C，A1B〉|＝＝＝.故选A. 3．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0).＝(1，0，－1)，＝(0，－1，0)，则平面PAB的一个法向量为n1＝(1，0，0). 设平面PCD的一个法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1，∴n2＝(1，0，1)，cos 〈n1，n2〉＝＝，∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为， ∴平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°. 4．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　解析：A选项中，如图，取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．B选项中，如图建立空间直角坐标系， 设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)，由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为，故B正确．C选项中，在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以△ADC为等边三角形，故C正确．D选项中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误． 5．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 答案：　解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 6．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为________. 答案：　解析：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直． 以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝2，则PA＝2，可得B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，F(1，1，1)，E(1，2，0)，所以＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2). 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 设异面直线BF与PE所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝， 所以sin θ＝＝＝. 7．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值． (1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD. 因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝， 而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC. 因为BD∩OC＝O，BD，OC⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD. (2)解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，－，0)， 所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 8．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，＝(2，2，－2)， ∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0，2，0)，设SC与平面ASD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝， 故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为. (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)， ∵＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由⇒令z＝1可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)， 显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝，即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为. 9．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　解析：不妨设BC＝1，AB＝λ(λ＞0)，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos 〈，〉|＝＝＝，得λ＝. 10．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________． 答案：　解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，).因为平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3).所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为＝. 11．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体．如图，现有一羡除ABCDEF，平面ABCD⊥平面CDEF，CD＝2AB＝4，EF＝6，四边形ABCD，CDEF均为等腰梯形，∠ADC＝∠DEF＝，M，N，P分别为DE，EF，BC的中点，则二面角P­MN­C的平面角的余弦值为____________. 答案：　解析：过A作AO⊥DC，垂足为O，过O作OQ⊥EF，垂足为Q， 因为平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD， 所以AO⊥平面CDEF，故以O为原点，OQ，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知：O(0，0，0)，B(0，2，)，C(0，3，0)，D(0，－1，0)，E(，－2，0)，F(，4，0)⇒M，N(，1，0)，P， 则＝，＝. 设平面MNP的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 取x＝5，则y＝－，z＝13，得n＝(5，－，13). 易得平面CDEF的一个法向量为m＝(0，0，1)，二面角P­MN­C的平面角为锐角， 所以二面角P­MN­C的平面角的余弦值为＝. 12．如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝AD＝2，∠DAB＝60°，点M是PC的中点． (1)求证：AC⊥平面PBD； (2)求平面MDB与平面DBP夹角的余弦值． (1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PD⊥AC. 又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，PD∩DB＝D， ∴AC⊥平面PBD. (2)解：取AB的中点为N，则DN，DC，DP两两垂直． ∴以DN，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则P(0，0，2)，D(0，0，0)，B(，1，0)，M(0，1，1)，A(，－1，0)，C(0，2，0).＝(，1，0)，＝(0，1，1). 设平面MDB的法向量为m＝(x，y，z)，则 ∴ 令x＝1，则y＝－，z＝. ∴m＝(1，－，). 又AC⊥平面PBD，∴平面PBD的一个法向量为＝(－，3，0)， ∵cos 〈m，〉＝＝＝＝－，∴平面MDB与平面DBP夹角的余弦值为. 13．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD； (2)求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值； (3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长． 解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B(－，，0)，P(0，0，2). (1)易得＝(0，1，－2)，＝(2，0，0)， 则·＝0，所以⊥，所以PC⊥AD. (2)易得＝(0，1，－2)，＝(2，－1，0). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). 由得 令z＝1，可得n＝(1，2，1). 又＝(2，0，0)是平面PAC的一个法向量， 所以cos 〈，n〉＝＝， 从而sin 〈，n〉＝. 所以平面PAC与平面PCD夹角的正弦值为. (3)易得＝(2，－1，0).设AE＝h，h∈[0，2]， 则E(0，0，h)，所以＝(，－，h). 所以cos 〈，〉＝＝＝，解得h＝，即AE＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$