课时梯级训练(11) 用空间向量研究距离问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　用空间向量研究距离问题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－，，1)，且平面α过原点O，则点M(a，0，a)(a＞0)到平面α的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　解析：＝(a，0，a)，故点M到平面α的距离d＝＝＝a. 2．若A(2，2，1)，B(0，0，1)，C(2，0，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：＝(2，2，0)，＝(2，0，－1)，则在上的投影向量的模为＝， 则点A到直线BC的距离为＝＝.故选A. 3.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝3，BC＝2，CC1＝4，BE＝2，则BC中点G到平面AEC1F的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：以D为原点，以DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(2，0，0)，E(2，3，2)，C1(0，3，4)，G(1，3，0)， 所以AC1＝(－2，3，4)，＝(0，3，2)，＝(1，0，2)， 设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的一个法向量， 所以令z＝1， 所以n＝， 点C到平面AEC1F的距离为d＝＝.故选D. 4．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，＝＋＋，＝(，，)，＝(1，0，0)，·＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝. 5．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到直线l的距离为________. 答案：　解析：＝(－2，0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为||＝＝. 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1到平面BDC1的距离． 8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1距离． 9.如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，DD1的中点，记E是线段MC1的中点，则点E到平面ANB1的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 10．(2023·绍兴高二期末)空间直角坐标系中，A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β.已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0)，设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，n＝(1，3，－4)，又平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为d＝＝＝，故选A. 11．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 答案：　解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．已知AB，AD，AP两两垂直． 以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝. 12．如图，在四棱锥S­ABCD中，AD∥BC，且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点C到平面SAB的距离． 解：因为平面CSD⊥平面ABCD，平面CSD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CSD. 又AD∥BC，所以BC⊥平面CSD. 所以△BCS与△ADS均为直角三角形． 在Rt△BCS中，因为E为BS的中点，CE＝， 所以BS＝2，所以BC＝＝2. 在Rt△ADS中，DS＝＝. 如图，以S为原点，以，，为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系， 则S(0，0，0)，C(0，2，0)，B(0，2，2)，A(，0，1)， 所以＝(，0，1)，＝(0，2，2)，＝(0，2，0). 设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝，z＝－. 所以n＝(1，，－)为平面SAB的一个法向量． 所以点C到平面SAB的距离为＝. 13．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，四边形AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z).因为四边形AEC1F为平行四边形，所以＝EC1，则(－2，0，z)＝(－2，0，2)，解得z＝2. 所以F(0，0，2).所以＝(－2，－4，2). 于是||＝2，即BF的长为2. 14．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解：如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，所以＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2). 假设线段PA上存在点M满足题意， 设M(0，0，z0)，0≤z0≤2，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则x＝1，y＝1. 所以n＝(1，1，1)为平面PCD的一个法向量． 又＝(0，0，2－z0)， 所以点M到平面PCD的距离d＝＝(2－z0). 由(2－z0)＝，可得z0＝1. 所以点M的坐标为(0，0，1)，此时M为线段PA的中点． 故当M为线段PA的中点时，点M到平面PCD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$