课时梯级训练(10) 空间中直线、平面的垂直（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　空间中直线、平面的垂直 1．(2024·丰台区高二期中)若直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则下列选项中能使l⊥α成立的是(　　) A．u＝(2，1，1)，n＝(－1，1，1) B．u＝(1，－2，0)，n＝(－2，4，0) C．u＝(1，2，4)，n＝(1，0，1) D．u＝(1，－1，2)，n＝(0，3，1) B　解析：要使l⊥α，则应有u∥n. 对于A项，由已知可知u∥n不成立，故A项错误； 对于B项，由已知可得u＝－n，所以u∥n，故B项正确； 对于C项，由已知可知u∥n不成立，故C项错误； 对于D项，由已知可知u∥n不成立，故D项错误．故选B. 2．设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由题意可得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．故选C. 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 B　解析：因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AP；因为·＝4×(－1)＋ 2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，即AD⊥AP.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥底面ABCD.故选B. 4．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点．若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　解析：由题意，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB，故选A. 5．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若a＝(－1，1，2)，b＝(2，2，－1)分别为直线l，m的方向向量，则l⊥m B．若k＝(－1，1，2)为直线l的方向向量，n＝(3，1，1)为平面α的法向量，则l∥α或l⊂α C．若n1＝(4，－2，1)，n2＝(－2，1，2)分别为两个不同平面α，β的法向量，则α∥β D．若向量c＝(s，1，t)是平面ABC的法向量，向量＝(－1，2，0)，＝(－1，1，1)，则t＝1 BD　解析：∵a＝(－1，1，2)，b＝(2，2，－1)，∴a·b＝(－1)×2＋1×2＋2×(－1)＝－2≠0， ∴直线l与m不垂直，故A错误； ∵k·n＝－3＋1＋2＝0，∴l∥α或l⊂α，故B正确； ∵＝≠，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故C错误； 由题可知即解得t＝1，故D正确．故选BD. 6．(2024·皖豫名校联盟高二期中)已知平面α的一个法向量为m＝(2，－1，1)，点A(3，－2，1)，B(t，1，－2)在平面α内，则t＝__________． 答案：6　解析：因为＝(t－3，3，－3)，且⊥m，所以2(t－3)－3－3＝0，解得t＝6. 7．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案：垂直　解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(，，)，F(，0，0)，∴＝(0，－，－)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝0，z＝1，所以平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M(，，1). 所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0). 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以 取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1，1，－). 所以n＝－，即n与共线．所以AM⊥平面BDF. 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE. 10．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2.以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是(　　) A．点P的坐标为(0，0，2) 　　 B．＝(4，0，－2) C．n可能为(0，－2，2) 　　 D．cos 〈m，n〉>0 C　解析：建立空间直角坐标系如图所示． 由题意可得B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，P(0，2，2)，所以＝(2，－2，－2)，＝(0，2，2). 设n＝(x，y，z)， 则取z＝2，可得n＝(0，－2，2).因为AB⊥BC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.故选C. 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝________时，D1E⊥平面AB1F. 答案：　解析：如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，F(0，t，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，2，0)，所以D1E＝(1，2，－2)，＝(－2，t，0). 12．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________． 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． (1)求证：平面AED⊥平面A1FD1； (2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE. (1)证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)， 14．如图(1)，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图(2). (1)求证：A1E⊥平面BCDE； (2)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (1)证明：因为DE⊥AB于点E， 所以A1E⊥DE，A1D⊥BE，ED⊥BE，且ED∩A1D＝D，ED，A1D⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，又A1E⊂平面A1DE， 所以BE⊥A1E，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BCDE， 所以A1E⊥平面BCDE. (2)解：假设在线段BD上存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD. 根据(1)建立如图所示空间直角坐标系． 学科网（北京）股份有限公司 $$