课时梯级训练(9) 空间中直线、平面的平行（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　空间中直线、平面的平行 1．直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α D　解析：因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l⊂α. 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 D　解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 3．设平面α的法向量为(2，－4，λ)，平面β的法向量为(1，μ，2)，若α∥β，则λ＋μ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 A　解析：因为α∥β，所以(2，－4，λ)＝x(1，μ，2)，则解得所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则直线AB(　　) A．与坐标平面xOy平行 B．与坐标平面yOz平行 C．与坐标平面xOz平行 D．与坐标平面yOz相交 B　解析：因为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，所以＝(0，5，－3)，而坐标平面yOz的法向量为(1，0，0)，显然(0，5，－3)·(1，0，0)＝0，故直线AB与坐标平面yOz平行．故选B. 5．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________． 答案：－3　解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3. 6．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 答案：α∥β　解析：＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由得令z＝1，则x＝1，y＝1，∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点．求证：MN∥B1C. 证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系． 8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F(，0，0)，E(，，c). 所以＝(0，－b，0)，＝(，－，c)， 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝(2，0，－). 9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1是(　　) A．异面直线 　　　 B．平行直线 C．垂直不相交 　　　 D．垂直且相交 10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 11．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 12．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°.若点F满足＝λ，当EF∥平面AGH时，求λ的值． 解：设菱形ABCD的边长为2，由条件可知AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE. 所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系． 可得A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，0)，G(0，0，1)，H(0，，2)， ＝(－1，0，0)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，，2). 由＝λ＝(－λ，λ，0)， ＝－＝(－λ，λ，0)－(－1，0，0)＝ (1－λ，λ，0)， 设平面AGH的法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝，则n＝(，－1，). 因为EF∥平面AGH，则n·＝(1－λ)－λ＝0， 即1－2λ＝0，解得λ＝. 13.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E，F分别为PD，PB的中点，点G满足＝λ(0<λ<1)，PA＝4，AB＝2，若OG∥平面CEF，则λ＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，则PA，AB，AD两两垂直， 以点A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则O(1，1，0)，C(2，2，0)，E(0，1，2)，F(1，0，2)， 所以＝(1，－1，0)，＝(2，1，－2). 设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 令x＝2，得m＝(2，2，3). 设G(0，0，a)，＝(－1，－1，a)， 因为OG∥平面CEF，所以·m＝0， 即－1×2－1×2＋3a＝0，解得a＝， 故AG＝，所以λ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$