课时梯级训练(2) 空间向量的数量积运算（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　空间向量的数量积运算 1．给出下列命题，其中正确的是(　　) A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 B．若＋＝0，则与一定共线 C．若＝，则AB与CD为同一线段 D．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B　解析：当〈a，b〉＝π时，满足a·b<0，但〈a，b〉不是钝角，故A错误； 当＋＝0时，＝－，所以与一定共线，故B正确； 当＝时，则与共线，但线段AB与CD可能只是平行关系，故C错误； 如图所示： 设＝a，＝b，AA1＝c，显然满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故D错误．故选B. 3．已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 D　解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13. 4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 A　解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A. 5．已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e方向上的投影向量是________． 答案：－2e　解析：由题意|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos 〈a，e〉·e＝4×(－)e＝－2e. 6．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是________. 答案：　解析：由于＝＋AA1＋A1F，所以||＝＝＝， 即EF的长是. 7．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________． 答案：　解析：|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.∴|a－b＋2c|＝. 8．已知四面体OABC的所有棱长均为1.求： (1)〈，〉； (2)|＋＋|. 解：(1)∵·＝·(＋)＝·＋·＝0，∴〈，〉＝90°. (2)|＋＋|＝＝＝. 10.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝2，CD＝3，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，则向量的模长为(　　) A． B．34 C．52 D． 14.如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝. (1)用向量，，表示； (2)求||. 解：(1)因为M是棱BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝. 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋×(＋)＝＋＋. (2)因为四面体OABC是正四面体，则||＝||＝||＝1， ·＝·＝·＝1×1×＝， 2＝2 ＝||2＋||2＋||2＋2××·＋2××·＋2××· ＝＋＋＋＋＋＝， 所以||＝. 15．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：点P在平面ABC上的射影H是△ABC的垂心． 证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB， ∴·＝0，·＝0，·＝0， ∴PA⊥平面PBC，∴·＝0， 由题意可知，PH⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0，·＝0， ∴·＝(－)·＝·－·＝0， ∴⊥，∴AH⊥BC. 同理可证BH⊥AC，CH⊥AB.∴点H是△ABC的垂心． 学科网（北京）股份有限公司 $$