第1章 空间向量与立体几何 阶段复习提升课2（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量在立体几何中的应用 考点一　用空间向量证明平行与垂直 　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． [例1] 在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). ∵＝(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. (2)解：由(1)知，＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2). 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， ∴在平面PAD内存在一点N(0，，)，使MN⊥平面PBD. 利用向量判断空间位置关系的策略 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证明). [练1] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 解：在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE，证明如下： 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， 则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，E(0，1，)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，). 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量， 所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2，1，2). 设棱C1D1上存在点F(t，1，1)(0≤t≤1)满足条件， 又因为B1(1，0，1)，所以＝(t－1，1，0). 而B1F⊄平面A1BE， 于是B1F∥平面A1BE，即·n＝0，可得(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0，解得t＝，故点F为C1D1的中点． 即在棱C1D1上存在点F为C1D1的中点，使B1F∥平面A1BE. 考点二　利用空间向量求距离 1．求点到平面的距离，常常利用向量法，转化为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度． 2．求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则． [例2] 三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形． (1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)； (2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离． 解：(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求．如图所示． (2)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2， 所以AC＝4，∠BAC＝30°，AM＝AB＝， 所以M(，，0)，D(0，2，0)，C(0，4，0). 因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC， 所以E(0，3，1)，故＝(0，－1，1)， ＝(，－，0)，＝(0，1，1). 设平面DME的一个法向量为m＝(x，y，z)， 令x＝1，则y＝，z＝－， 所以m＝(1，，－). 所以点C到平面α的距离d＝＝＝. 向量法求点到平面距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． [练2] 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是__________． 答案：　 解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(2，1，2)， 所以＝(0，－2，0)，＝(0，－1，2)， 记与同向的单位向量为u，则u＝， 所以点A到直线BE的距离d＝＝＝. 考点三　利用空间向量求空间角 用向量法求空间角应注意的问题 　(1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦值cos 〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉． (3)平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． [例3] 如图，在四棱锥P­ABCD中，已知AB＝BC＝，AC＝4，AD＝DC＝2，O为AC的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝2，点M为棱PC的中点． (1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值； (2)求平面DAM与平面AMC夹角的正弦值． 解：(1)连接DB，因为AB＝BC，AD＝DC，O为AC的中点，所以点O在DB上，且DB⊥AC.又PO⊥平面ABCD，则OB，OC，OP两两垂直． 故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系(如图). 由题意得OB＝1，OD＝2，则O(0，0，0)，A(0，－2，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)， D(－2，0，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1). ＝(－2，2，0)，＝(0，3，1). 设n＝(x，y，z)为平面ADM的法向量， 不妨令y＝1，则x＝1，z＝－3，可得n＝(1，1，－3). 又＝(1，0，－2)，所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝， 所以直线PB与平面ADM所成角的正弦值为. (2)由(1)知OB⊥AC. 又OB⊥PO，AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面AMC，故OB⊥平面AMC， 由是平面AMC的一个法向量，＝(1，0，0). 由(1)可知n＝(1，1，－3)是平面ADM的一个法向量， 所以cos 〈，n〉＝＝，sin 〈，n〉＝， 所以平面DAM与平面AMC夹角的正弦值为. 利用空间向量求空间角的思路 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得需要的坐标． (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角或利用平面的法向量． [练3] 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°. (1)求直线AD与直线BC所成角的大小； (2)求直线AD与平面BCD所成角的大小； (3)求平面ABD和平面BDC夹角的余弦值． 解：在平面ABC内过B点作z轴垂直于BC，在平面BCD内过B点作x轴垂直于BC. ∵平面ABC⊥平面DBC， ∴∠xBz＝90°. 如图，建立空间直角坐标系Bxyz. 设AB＝a，则A(0，－a，a)，C(0，a，0)，D(a，－a，0)， ∴＝(a，0，－a)， ＝(0，a，0)，＝(a，－a，0). (1)∵·＝0，∴⊥，∴AD⊥BC， ∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°. (2)设直线AD与平面BCD所成的角为θ1， ∵n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量， ∴sin θ1＝|cos 〈，n〉|＝＝. ∴θ1＝45°， 即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°. (3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则 取x＝1，则z＝1，y＝， ∴m＝(1，，1). ∴cos 〈m，n〉＝＝＝. 即平面ABD和平面BDC夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$