3.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　椭圆的简单几何性质的应用 学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用． 2．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 知识点一　椭圆的实际应用问题 [例1] 酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求卫星运行的轨道方程．[注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线] 解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则F2，A1，A2三点都在x轴上， |F2A2|＝a－c＝200＋6 371＝6 571， |A1F2|＝a＋c＝350＋6 371＝6 721， 所以a＝6 646，c＝75， 从而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691. 所以卫星运行的轨道方程为＋＝1. 解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解． [练1] 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 m．如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是________m． 答案：32　解析：设椭圆方程为＋＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1， 解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32， 故拱宽至少为32 m． 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 考法1　直线与椭圆位置关系的判断 [例2] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.① 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3. 当－3<m<3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 当m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 当m<－3或m>3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 判断直线与椭圆位置关系的思路 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． [练2] 若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．± D．± 考法2　弦长问题 [例3] 已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. (1)试求动点P的轨迹方程C； (2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 解：(1)设动点P的坐标是(x，y).由题意得kPA·kPB＝－， ∴·＝－，化简整理得＋y2＝1. 故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±). (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝0. |MN|＝·＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍去)， ∴k＝±1，经检验符合题意． ∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 求直线被椭圆截得弦长的方法 (1)求出两交点坐标，用两点间距离公式； (2)用弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦AB的端点．,\s\do4(　,)) [练3] 设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． (1)求实数b的取值范围； (2)当b＝1时，求|AB|. 解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.① 因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点， 所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，解得－＜b＜. 所以b的取值范围为(－，). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0. 解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝1，y2＝－. 所以|AB|＝＝. 考法3　椭圆的弦中点、中点弦问题 [例4] 已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程． 解：方法一(根与系数的关系)　易知直线AB的斜率存在，设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入椭圆方程，整理得 (9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0. 则Δ＝36(32k2＋8k＋12)＝36＞0. 设A，B的横坐标分别为x1，x2，则 ＝＝1，解得k＝－. 故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0. 方法二(点差法)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由②－①，得 4(x2－x1)(x2＋x1)＋9(y2－y1)(y2＋y1)＝0. ∵M为AB的中点， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴4(x2－x1)＋9(y2－y1)＝0， ∴＝－，即kAB＝－. 由点斜式得直线AB的方程为 y－1＝－(x－1)， 即4x＋9y－13＝0. 中点弦问题的解法 中点弦问题通常采用根与系数的关系或点差法求解．应用点差法可求出弦所在直线的斜率，点差法又称为“设而不求法”． 点差法：设点(设出点坐标)→代入(代入曲线方程)→作差(两式相减). [练4] 已知椭圆M：＋＝1，过点P(1，m)，斜率为的直线l与M交于A，B两点，且P为AB的中点，则m＝(　　) A.1 B．－1 C． D．－ B　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(1，m)为A，B的中点，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m， 两式相减得＋＝＋＝＋＝0， 则＋＝＋×＝0，得m＝－1. 故选B. 1．知识清单 (1)椭圆的实际应用． (2)直线与椭圆的位置关系． (3)弦长公式． 2．方法归纳：判别式法． 3．常见误区：代数计算中的运算失误． ◎随堂演练 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A.相交 B．相切 C.相离 D．不确定 A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交． 2．已知点P是椭圆＋＝1上任意一点，则当点P到直线4x－5y＋40＝0的距离达到最小值时，点P的坐标为________． 答案：(－4，)　解析：设平行于直线4x－5y＋40＝0且与椭圆相切的直线方程为4x－5y＋c＝0(c≠40). 令Δ＝(8c)2－4×25×(c2－225)＝0，得c2＝625， 解得c＝±25. 结合图形(图略)可知c＝25，此时x2＋8x＋16＝0，解得x＝－4. 代入4x－5y＋25＝0得，y＝，∴P(－4，). 3．如果椭圆＋＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________． 答案：－　解析：设此弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，即此弦所在直线的斜率为－. 4．已知直线3x－y＋2＝0与椭圆＋＝1相交于M，N两点，求MN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$