1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角． 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、二面角的关系． 3．能描述解决这一类问题的程序“三步曲”． 知识点一　异面直线所成的角 如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题？ 用向量法研究异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos_〈u，v〉|＝||＝. [例1] 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，点M，N分别为棱A1C1，A1B1的中点，求直线AM和直线BN所成角的余弦值． 解：取AC的中点O，连接OB.设AA1＝AB＝4. 因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以OB⊥AC. 因为AA1⊥平面ABC，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－2，0)，B(2，0，0)，M(0，0，4)，N(，－1，4)， 所以＝(0，2，4)，＝(－，－1，4). 因为cos 〈，〉＝＝＝， 所以直线AM和直线BN所成角的余弦值为. 求异面直线所成角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. [练1] 已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝2AA1＝2BC＝2，E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：依题意，建立如图的空间直角坐标系， 则E(0，1，0)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)，D1(0，0，1)， ∴EB1＝(1，1，1)，D1C＝(0，2，－1)， 设异面直线EB1与D1C所成的角为θ，则 cos θ＝＝ ＝. 知识点二　直线与平面所成的角 如何用向量法求直线 l 和平面α的夹角？ 直线与平面所成的角 图示 公式 sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝ [例2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝1，PC＝，点E为线段PC的中点，且BC⊥DE. (1)求证：PD⊥AC； (2)求直线PB与平面ADE所成角的正弦值． (1)证明：由底面ABCD为矩形，可知BC⊥CD. 又因为BC⊥DE，CD，DE⊂平面PCD，CD∩DE＝D， 所以BC⊥平面PCD. 因为PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD. 因为PD＝1，CD＝2，PC＝满足PD2＋CD2＝PC2，所以CD⊥PD. 因为BC⊥PD，CD，BC⊂平面ABCD，CD∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC. (2)解：由(1)可知PD⊥平面ABCD.又底面ABCD为矩形，以为基底建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(1，2，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，). 所以＝(1，2，－1)，＝(1，0，0)，＝(0，1，). 设平面ADE的一个法向量为n＝(x，y，z). 因此，可取n＝(0，1，－2). 所以|cos 〈，n〉|＝＝＝， 即直线PB与平面ADE所成角的正弦值为. 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量u； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝ [练2] (2024·信阳高二期中)已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的点，∠BAC＝30°，AB＝2，PA＝2，则PA与平面PBC所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　解析：依题意：圆锥的高PO＝＝1， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz. 则A(0，－，0)，B(0，，0)，C，P(0，0，1)， ＝(0，，－1)，＝，＝(0，－，－1)， 设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则 取x＝1，得n＝(1，，3)，设PA与平面PBC所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝， 即PA与平面PBC所成角的正弦值为.故选D. 知识点三　平面与平面的夹角 如何用向量方法求平面α和平面β的夹角？ 平面与平面的夹角 定义 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角 图示 公式 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝ [例3] 如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥平面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值． (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD. 因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD. (2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2). 平面OB1D即平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 取z＝－，则x＝2，y＝2，则m＝(2，2，－)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝. 所以平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值为. 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈[0，]时)或π－〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈(，π]时) [练3] 如图所示，在几何体S­ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值． 解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠SDC＝120°，DE⊥DC， ∴∠SDE＝30°，又SD＝2， ∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为， 则有D(0，0，0)，S(－1，，0)，A(0，0，2)，C(2，0，0)，B(2，0，1). 设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，∵＝(0，0，－2)，＝(－1，，－2)， 得平面SAD的一个法向量为m＝(，1，0). 又＝(2，0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)， 令a＝，则n＝(，5，2)， cos 〈m，n〉＝＝＝， 故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是. 综合应用：用空间向量求距离、空间角的应用 [例4] 如图①为某凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高AA1为3 m，顶部为底面边长为2 m的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是45°. (1)求该凉亭及其内部所占空间的大小； (2)在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面BD1F1所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°角， 取A1F1的中点G，连接O1G，PG， 则O1G⊥A1F1，PG⊥A1F1， 故∠PGO1＝45°，易求O1G＝，所以PO1＝， 所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为V1＝×6××22×＝6(m3)， 下半部分为正六棱柱，其体积为 V2＝6××22×3＝54(m3)， 所以该凉亭及内部所占空间为60 m3. (2)假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面BD1F1所成角的正弦值为.取AB的中点H，以OH，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 则A(，－1，0)，B(，1，0)，D1(－，1，3)，F1(0，－2，3)，P(0，0，4)，C(0，2，0)， 设＝t＝(0，2t，－4t)， 则M(0，2t，4－4t)， 设平面BD1F1的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(－，2t＋1，4(1－t))，BD1＝(－2，0，3)，BF1＝(－，－3，3)， 令x＝3，解得y＝，z＝2， 所以平面BD1F1的一个法向量为n＝(3，，2)， 设直线MA与平面BD1F1所成的角为θ，则sin θ＝＝， 化简得127t2－206t＋127＝0，Δ＝(－206)2－4×1272＝2062－2542<0，故该方程不存在实数解， 所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面BD1F1所成角的正弦值为. 利用空间向量解决实际问题 (1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题． (2)对于与垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养. [练4] 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲、乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值． 解：由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d， 所以d2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝a2＋c2＋b2＋2·＝a2＋c2＋b2－2·，则2·＝a2＋b2＋c2－d2， 设向量与的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角，因此2ab cos θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以cos θ＝，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为. 1．知识清单 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围． ◎随堂演练 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　) A． B． C.或 D．以上均不对 A　解析：l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，]，故选A. 2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为(　　) A.30° B．60° C．120° D．150° B　解析：设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°， 则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝60°. 3．已知两平面的法向量分别为n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　) A.30° B．45° C．60° D．75° B　解析：因为cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以两平面夹角的大小为45°.故选B. 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为 (　　) A.0 B． C.－ D． A　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0). 5.(多选)如图所示，棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是(　　) A.AM∥BN B.直线MN与AC所成的角为60° C.直线MN与平面ABM所成的角为30° D.平面BMN与平面ABM的夹角为45° BCD　解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，N(0，2，1)，M(0，1，2)，C(0，2，0). 对于A项，有＝(－2，1，2)，＝(－2，0，1)，显然，不共线，所以A错误； 对于B项，因为＝(0，1，－1)，＝(－2，2，0)， 所以cos 〈，〉＝＝＝， 所以〈，〉＝60°. 所以直线MN与AC所成的角为60°.故B正确； 对于C项，＝(0，2，0)，＝(－2，1，2)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABM的一个法向量， 令z1＝1可得，n1＝(1，0，1)是平面ABM的一个法向量． 因为cos 〈，n1〉＝＝＝－， 所以，直线MN与平面ABM所成的角θ的正弦值sin θ＝|cos 〈，n1〉|＝， 所以θ＝30°.故C正确； 对于D项，＝(0，1，－1)，＝(－2，－1，2). 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BMN的一个法向量， 取x2＝1，则n2＝(1，2，2)是平面BMN的一个法向量． 因为cos 〈n1，n2〉＝＝＝， 所以，平面BMN与平面ABM的夹角θ1的余弦值cos θ1＝|cos 〈n1，n2〉|＝， 所以θ1＝45°.故D正确．故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$