1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 学习目标 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2．能用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离． 3．能描述解决这一类问题的程序“三步曲”． 知识点一　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ＝． 两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离． [例1] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：由题意可知，BA，BC，BB1两两垂直，故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 . 用向量法求点到直线的距离时的注意点 (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，需计算正确． [练1] (2024·太原期末)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是CC1的中点，则点A到直线D1E的距离为(　　) A． B． C． D． 知识点二　点到平面的距离 如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离可以看成什么？对应的表达式是什么？ 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离为PQ＝＝||＝． (1)已知n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)两个平行平面之间的距离 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． [例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，则＝(0，0，1)， ＝(1，，－1)，＝(，1，－1). 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 所以即 令y＝2，则n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝. (2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC， 所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离． 由于＝(0，，0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝(2，2，3)， 所以点A到平面PEF的距离为＝＝.又AC∥平面PEF， 即直线AC到平面PEF的距离为. 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α内两不共线向量，平面α的法向量为n). (4)求距离d＝. [练2] 如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求： (1)直线MN与平面OCD的距离； (2)平面MNR与平面OCD的距离． 解：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0). 所以＝(2，1，－1)，＝(2，0，0)，＝(0，－2，2). 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD.因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD.因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点，则CN∥RD且CD＝RD，所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD.因为RN⊄平面OCD.CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD.因为RN∩MR＝R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD.又因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD. 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，可得n＝(0，1，1). ＝(0，1，0)，所以直线MN与平面OCD的距离为d1＝＝＝. (2)由(1)得平面MNR∥平面OCD，则平面MNR与平面OCD的距离即为点N到平面OCD的距离，d2＝＝＝. 1．知识清单 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用公式，对公式推导过程的理解是应用的基础． ◎随堂演练 1．空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.已知平面α的方程为x－y＋2z＝1，点Q(3，－1，1)，则点Q到平面α距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：由于平面α的方程为x－y＋2z＝1，所以平面α的一个法向量n＝(1，－1，2)，在平面α上任取一点A(－1，0，1)，则＝(－4，1，0)，点Q到平面α距离d＝＝＝.故选A. 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(0，1，2)，C(1，0，2)，则点O到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D．2 B　解析：依题意可得＝(－1，－1，2)，＝(1，－1，0)，＝(1，2，0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)，所以点O到平面ABC的距离是d＝＝＝.故选B. 3．已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：因为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，所以＝(0，－1，2)，＝(1，1，－1)，则点C到直线AB的距离为＝＝.故选C. 4．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 A　解析：∵＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$