1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示． 2．掌握空间两点间距离公式． 3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 知识点一　空间向量的坐标运算 在平面向量中，如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy2)，a·b＝(x1x2，y1y2).在空间向量中，是否也有类似的结论成立？你能不能先试着写一写． 空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 [例1] 已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3).求满足下列条件的点P的坐标． (1)＝(－)； (2)＝(－). 解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)， ∴－＝(6，3，－4). (1)＝(6，3，－4)＝(3，，－2)， 则点P的坐标为(3，，－2). (2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2). ∵(－)＝＝(3，，－2)， ∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为(5，，0). 空间向量坐标运算的规律及注意点 考查角度及类型 运算规律及注意点 由点的坐标求向量坐标 空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算 由条件求向量或点的坐标 把向量用坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 [练1] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).设p＝，q＝.求： (1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q). 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝(0，1，9)·(4，1，－3)＝0＋1－27＝－26. 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 1．空间向量平行、垂直、模及夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 平行 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) (b≠0) 垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 cos 〈a，b〉 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系Oxyz中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1，P2两点间的距离P1P2＝|P1P2|＝. [例2] 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥， 设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)， 所以|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行． (2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2＝0判定两向量垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判定两向量平行． 综合应用：利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 [例3] 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. (1)解：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 [练2] 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)，H(0，，). ＝(，，－)，＝(－1，0，－1). ∴·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. 1．知识清单 (1)向量运算的坐标表示． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区 (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等，忽视了前提条件． (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况． ◎随堂演练 1．(2024·皖豫名校联盟高二期中)已知向量a＝(2，x，－2)，b＝(2，4，y)，若|a|＝3，且a⊥b，则xy的值为(　　) A．0 B．4 C.0或4 D．1或4 C　解析：因为a＝(2，x，－2)且|a|＝3，所以＝3，解得x＝±1.又因为a⊥b，所以a·b＝4＋4x－2y＝0，当x＝1时，解得y＝4，此时xy＝4，当x＝－1时，解得y＝0，此时xy＝0，故选C. 2．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________． 答案：4　解析：∵a∥b，∴b＝λa， ∴∴ ∴x－y＝4. 3．与向量a＝(6，7，－6)方向相同的单位向量是________． 答案：(，，－)　解析：设与a平行的单位向量为b＝(x，y，z)，则x2＋y2＋z2＝1，且x＝6λ，y＝7λ，z＝－6λ，所以λ＝±，当λ＞0时方向相同，故b＝(，，－). 学科网（北京）股份有限公司 $$