第16讲 轴对称与坐标变化 （1个知识点+6种经典题型+试题练习）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第16讲 轴对称与坐标变化 （1个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【例1】（2024•沂源县二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标，是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，点和点关于 　　轴对称． 【变式2】（2023秋•孟村县期末）如果点和点关于直线对称，则的值是　　 A． B．1 C． D．5 【变式3】（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为对称的点为，则当△的面积为1时，　　． 【变式4】（2023秋•丰顺县期末）如图所示： （1），两点关于 　　轴对称； （2），两点横坐标相等，线段　　轴，线段　　轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为 　　； （3）线段与的位置关系是 　　；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 　　． 【变式5】（2023秋•孝昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，点关于直线的对称点为． （1）点的坐标为 　　； （2）已知点，点，在图中描出点，，，顺次连接点，，，． ①在四边形内部有一点，满足且，则此时点的坐标为 　　，　　； ②在四边形外部是否存在点，满足且，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 经典题型汇编 题型一、实际问题中用坐标表示位置 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点上，“相”位于点上，则炮位于（　　）上． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是 ． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示是某地残旧地图，已残缺不全，依稀可见钟楼坐标为，商店坐标为，据资料记载，学校位置坐标为，你能找到学校的位置吗？若能，请在图中标出来，并说明理由． 题型二、用方向角和距离确定物体的位置 4．（23-24八年级上·河南郑州·期末）生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．距离二七纪念堂 C．中原福塔北偏东，距离 D．物理第一实验室排座 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）常用的确定物体位置的方法有 ， ． 6．（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由． 题型三、根据方位描述确定物体的位置 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，佩奇去山里寻宝，发现藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为大门处，二号宝藏在坐标为大门处，三号宝藏在坐标为大门处，若M、N位置如图所示，则三号宝藏的位置应该在（　　）点处． A．A B．B C．C D．D 8．（八年级上·全国·单元测试）小明站在旗杆的北偏东40°方向上，且距离旗杆80米处，则旗杆应在小明 的位置． 9．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 题型四、求对称轴条数 10．（23-24八年级上·吉林·期中）圆是轴对称图形，对称轴有无数条，它们是 ． 11．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　） A．  B．  C．   D．   12．（22-23八年级上·全国·课后作业）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 题型五、坐标与图形变化——轴对称 13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 14．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点关于y轴的对称点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知点，，． (1)请写出的各顶点关于直线的对称点的坐标（要求与，与，与相对应），并画出； (2)四边形的面积等于__________． 题型六、轴对称综合题（几何变换） 16．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 17．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中两个村庄的坐标分别为，，现在轴上方建一个边长为的正方形驿站，点和点在轴上，大门为中点，则大门到两个村庄的距离的最小值为 ． 18．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，，两点在直线的两侧，在上找一点，使点到点、的距离之差最大． 试题练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·贵州遵义·期中）下列4个时刻中，是轴对称图形的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为     A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     5．（23-24八年级上·河北保定·期末）根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．北偏东 B．东经，北纬 C．万达影院5排 D．乐凯大街 6．（22-23八年级上·山东青岛·期末）青岛火车站是一座百年老站，是青岛市的标志性建筑之一．下列能准确表示青岛火车站地理位置的是（    ） A．山东省青岛市 B．青岛市市南区泰安路2号 C．栈桥风景区的西北方向 D．胶州湾隧道口大约2千米处 7．（21-22八年级上·安徽安庆·期中）下列数据中不能确定物体位置的是（    ） A．南偏西 B．幸福小区3号楼501号 C．人民路461号 D．东经，北纬 8．（2024·山东聊城·三模）如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案的对称轴的条数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2023八年级上·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A．   B．   C．   D．   10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题 11．（22-23八年级上·江西萍乡·期中）王红在电脑中用英文写个人简历时，把其中一句倒排成：则正确的英文为 ． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，若轰炸机A、B的坐标分别是，则轰炸机C的坐标为 ． 13．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）正十边形有 条对称轴． 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 16．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若点与点关于轴对称，则的值为 ． 17．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为 ． 18．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 三、解答题 19．（19-20八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 20．（21-22八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 21．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家，如图，小刚的家在 A 处，王奶奶的 家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为和 ，且，若点 A 到河岸 的中点 的距离为 1000 米，则小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少？    22．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东400m，再往北300m处，请在图中标出来． 23．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，，． (1)画出关于y轴对称的，并直接写出点B的对称点的坐标______； (2)求的面积． 24．（全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    25．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据图象回答下面的问题： (1)用两种不同方法表示点A相对于点O的位置． (2)如果规定列号写在前面，行号写在后面，已知点B的位置为．在图中画出点B的位置，并求点B到点O的距离，量出点B相对于点O的方位． 26．（20-21八年级上·福建三明·期中）这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置建了一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，回答下列问题： （1）用坐标表示狮子所在的点_____________； （2）动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为(3，﹣3)，请直接在图中标出大象所在的位置；（描出点，并写出大象二字） （3）若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下，南门所在的点的坐标是(﹣4，-1)则此时坐标原点是_______所在的点，此时飞禽所在的点的坐标是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 轴对称与坐标变化 （1个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【例1】（2024•沂源县二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标，是　　 A． B． C． D． 【分析】由点关于幸福直线的对称点的坐标，可知、的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【解答】解：由题意知，，即， 故选：． 【点评】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 【变式1】（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，点和点关于 　　轴对称． 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【解答】解：点和点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 点和点关于轴对称． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化对称，关于轴、轴对称的点的坐标的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 【变式2】（2023秋•孟村县期末）如果点和点关于直线对称，则的值是　　 A． B．1 C． D．5 【分析】利用轴对称的性质构建方程组求出，即可． 【解答】解：点和点关于直线对称， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查坐标与同时变化对称，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 【变式3】（2023秋•思明区校级期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为对称的点为，则当△的面积为1时，　1或3　． 【分析】根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【解答】解：根据题意得，，，， ，， △的面积为1， ， 解得或3． 故答案为：1或3． 【点评】本题考查了新定义，坐标与图形变化对称，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出，的坐标． 【变式4】（2023秋•丰顺县期末）如图所示： （1），两点关于 　　轴对称； （2），两点横坐标相等，线段　　轴，线段　　轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为 　　； （3）线段与的位置关系是 　　；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质判断即可； （2）利用网格特征一一判断即可； （3）根据平行线的判定解决问题即可． 【解答】解：（1），两点关于轴对称． 故答案为：； （2），两点横坐标相等，线段轴，线段轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为． 故答案为：，，； （3）线段与的位置关系是；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为3． 故答案为：，3． 【点评】本题考查坐标与图形变化对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式5】（2023秋•孝昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，点关于直线的对称点为． （1）点的坐标为 　　； （2）已知点，点，在图中描出点，，，顺次连接点，，，． ①在四边形内部有一点，满足且，则此时点的坐标为 　　，　　； ②在四边形外部是否存在点，满足且，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先作轴对称，再写坐标； （2）先描点，再连线； ①根据三角形的面积公式求解； ②根据三角形的面积公式求解； 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）如图： ①且，，， 点在直线上，且到的距离是到距离的2倍， 在四边形的内部， ， ； ， 故答案为：， ②且，，， 点在直线上，且到的距离是到距离的2倍， 在四边形的外部， ， ． 【点评】本题考查了坐标与图形的变化，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、实际问题中用坐标表示位置 1．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点上，“相”位于点上，则炮位于（　　）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点的坐标建立平面直角坐标系进而得出答案，正确得出原点位置是解题的关键． 【详解】解：“帅”位于点，“相”位于点上 ， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则“炮”位于点， 故选：． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知甲、乙、丙三人所处位置不同．甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”若以乙为坐标原点（三人建立平面直角坐标系时，x轴、y轴正方向分别相同），甲、丙的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．据此解答即可． 【详解】解：由于已知三人建立坐标系时，x轴y轴正方向相同， 则以甲为坐标原点，乙的位置是，则以乙为坐标原点，甲的位置是； 以丙为坐标原点，乙的位置是，则以乙为坐标原点，丙的位置是． 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示是某地残旧地图，已残缺不全，依稀可见钟楼坐标为，商店坐标为，据资料记载，学校位置坐标为，你能找到学校的位置吗？若能，请在图中标出来，并说明理由． 【答案】能，图和理由见解析． 【分析】本题考查了坐标确定位置．由，两点的坐标建立直角坐标系，在直角坐标系中能找出学校的位置． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，由，两点的坐标确定横轴和纵轴， 学校的位置在图中点处． 题型二、用方向角和距离确定物体的位置 4．（23-24八年级上·河南郑州·期末）生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．距离二七纪念堂 C．中原福塔北偏东，距离 D．物理第一实验室排座 【答案】B 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，理解位置的确定需要一个有序数对是解题的关键．根据坐标确定位置需要一个有序数对，对各选项分析判断． 【详解】解：A、东经，北纬，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； B、距离二七纪念堂，不能确定物体的位置，故本选项符合题意； C、中原福塔北偏东，距离，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； D、物理第一实验室排座，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）常用的确定物体位置的方法有 ， ． 【答案】 有序实数对 方位角数字 【分析】根据本章内容可知确定位置的方法有两种，一种是用两个有序实数表示例如：电影院中座位的确定；另一种是一个方位角数字，例如：在海上行船时，船与某岛的位置． 【详解】确定位置的方法有两种，一种是用有序实数对表示，例如：电影院中座位的确定；另一种是一个方位角数字，例如：在海上行船时，船与某岛的位置． 故答案为：有序实数对；方位角数字． 【点睛】本题主要考查了确定物体的位置的方法． 6．（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)40米，理由见解析 【分析】（1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小刚走完用了80步，一步大约米， （米）． 答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米． 【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． 题型三、根据方位描述确定物体的位置 7．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，佩奇去山里寻宝，发现藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为大门处，二号宝藏在坐标为大门处，三号宝藏在坐标为大门处，若M、N位置如图所示，则三号宝藏的位置应该在（　　）点处． A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：如图所示； 则三号宝藏的位置应该在B点处． 故选：B． 8．（八年级上·全国·单元测试）小明站在旗杆的北偏东40°方向上，且距离旗杆80米处，则旗杆应在小明 的位置． 【答案】南偏西40°方向上且距离小明80米 【分析】根据方向问题是相对的，根据小明站在旗杆的北偏东40°方向，且距离旗杆80米，即可得出旗杆应该在小明的南偏西40°方向且距离小明80米． 【详解】∵小红站在旗杆的北偏东40°方向，且距离旗杆80米， ∴旗杆应该在小红的南偏西40°方向，且距离小红80米， 故答案为：南偏西40°方向，且距离小红80米． 【点睛】此题主要考查了方向角问题，熟练掌握方位角的定义是解题的关键． 9．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 【答案】(1)学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处 (2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院 (3)见解析 【分析】(1)由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50方向4km处； (2)观察图形，根据OA， OE， OD的长度及图中各角度，即可得出结论． (3)作北偏西60°角，取OE = 2即可． 【详解】（1）解：学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处； （2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院； （3）如图，点F即为小强家． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素． 题型四、求对称轴条数 10．（23-24八年级上·吉林·期中）圆是轴对称图形，对称轴有无数条，它们是 ． 【答案】经过圆心的所有直线 【分析】本题主要考查了轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键． 根据轴对称的概念即可得出答案． 【详解】解：根据轴对称的概念可知，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴， 故答案为：经过圆心的所有直线． 11．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形，正确找出各个图形的对称轴是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据对称轴的概念、结合图形分别找出各个图形的对称轴，即可得到答案． 【详解】解：A．图中有四条对称轴； B．图中有三条对称轴； C．图中有四条对称轴； D．图中有四条对称轴； 综上分析可知：对称轴最少的图形是B选项中的图形． 故选：B． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴． 【答案】线段、角是轴对称图形；线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线；角的对称轴为角平分线所在的直线． 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：线段、角是轴对称图形； 线段的对称轴为线段的垂直平分线所在的直线和线段所在的直线； 角的对称轴为角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 题型五、坐标与图形变化——轴对称 13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点关于y轴的对称点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中对称点的规律．解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．掌握平面直角坐标系中对称点的规律是解题的关键．根据关于轴的对称点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：由关于轴的对称点的坐标特征可得：点关于轴的对称点的坐标为． 故选：A． 15．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知点，，． (1)请写出的各顶点关于直线的对称点的坐标（要求与，与，与相对应），并画出； (2)四边形的面积等于__________． 【答案】(1)，，；图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握轴对称的性质及数形结合思想是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可求出的各顶点关于直线的对称点，，的坐标；先画出点，，，再顺次连接各点即可得到的图形； （2）根据各点坐标先分别求出，，点到的距离，点到的距离，然后由点到的距离+点到的距离，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：的各顶点关于直线的对称点分别为点，，， 又，，， 由轴对称的性质可知： 的纵坐标为，横坐标为； 的纵坐标为，横坐标为； 的纵坐标为，横坐标为； 的各顶点关于直线的对称点的坐标为： ，，， 画出的图形如下： （2）解：点和点纵坐标相等，点和点纵坐标相等， 轴，轴， ， ， 点到的距离为， 点到的距离为， 点到的距离+点到的距离 ， 四边形的面积等于． 题型六、轴对称综合题（几何变换） 16．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ，，， ∴， ， ， 的最小值为． 故选：B． 17．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中两个村庄的坐标分别为，，现在轴上方建一个边长为的正方形驿站，点和点在轴上，大门为中点，则大门到两个村庄的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，过点关于直线的对称点，连接，则的长度即为的最小值，利用两点间距离坐标公式计算即可求解，掌握的长为的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，过点关于直线的对称点，连接，则的长度即为的最小值， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，，两点在直线的两侧，在上找一点，使点到点、的距离之差最大． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称变换作图及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系的内容是解答关键．作点关于直线的对称点，则，因而，在直线上任找一点（异于点），连接，，，，得，利用三角形三边关系即可确定到点，的距离之差最大时点的位置． 【详解】解：如图所示，以直线为对称轴，作点关于直线的对称点，的连线交于点，则点即为所求． 理由：在直线上任找一点（异于点），连接，，，． 因为点，关于直线对称， 所以为线段的垂直平分线，则有， 所以． 又因为点在上， 所以． 在中，， 所以， 当点，，在同一条直线上时，的值最大． 试题练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·贵州遵义·期中）下列4个时刻中，是轴对称图形的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念分别对各个图形进行判断即可. 【详解】解：第1个，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 第2个，是轴对称图形，故本选项符合题意； 第3个，是轴对称图形，故本选项符合题意； 第4个，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形，能根据轴对称的概念找出图形的对称轴是解决此题的关键. 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标．关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：点的坐标为， 点关于轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 4．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．北偏东 B．东经，北纬 C．万达影院5排 D．乐凯大街 【答案】B 【分析】本题考查了确定位置；确定位置需要两个数据，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、北偏东，缺少距离，不能确定位置，故A错误； B、东经，北纬，能确定位置，故B正确； C、万达影院5排，不能确定位置，故C错误； D、乐凯大街，不能确定具体位置，故D错误； 故选：B． 6．（22-23八年级上·山东青岛·期末）青岛火车站是一座百年老站，是青岛市的标志性建筑之一．下列能准确表示青岛火车站地理位置的是（    ） A．山东省青岛市 B．青岛市市南区泰安路2号 C．栈桥风景区的西北方向 D．胶州湾隧道口大约2千米处 【答案】B 【分析】根据地理位置表示的越具体，越准确，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、山东省青岛市不能准确表示青岛火车站地理位置，故不符合题意； B、青岛市市南区泰安路2号能准确表示青岛火车站地理位置，故符合题意； C、栈桥风景区的西北方向不能准确表示青岛火车站地理位置，故不符合题意； D、胶州湾隧道口大约2千米处不能准确表示青岛火车站地理位置，故不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了根据方位描述确定物体位置，理解地理位置表示的越具体，越准确是解本题的关键． 7．（21-22八年级上·安徽安庆·期中）下列数据中不能确定物体位置的是（    ） A．南偏西 B．幸福小区3号楼501号 C．人民路461号 D．东经，北纬 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定点的位置，解题的关键是要明确，一个有序数对才能确定一个点的位置． 确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据．找到一个数据的选项即为所求． 【详解】解：A．南偏西，不是有序数对，不能确定物体的位置，故本选项符合题意； B．幸福小区3号楼501号，相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意； C．人民路461号，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意； D．东经，北纬，是有序数对，能确定物体的位置，故本选项不合题意； 故选：A． 8．（2024·山东聊城·三模）如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案的对称轴的条数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查图形的对称轴，根据该图形的特点结合轴对称图形的定义得出即可． 【详解】解：由图知， 该图案的对称轴的条数为4条， 故选：B． 9．（2023八年级上·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 11．（22-23八年级上·江西萍乡·期中）王红在电脑中用英文写个人简历时，把其中一句倒排成：则正确的英文为 ． 【答案】 【分析】本题是镜面反射的知识，可以在这句话的正上方放一面镜子，看镜子里的字母就可以了． 【详解】解：如图在这句话的正上方放一面镜子， 很容易得到正确的英文为． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，若轰炸机A、B的坐标分别是，则轰炸机C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用坐标确定位置，根据的坐标确定直角坐标系是解题的关键． 先根据的坐标确定直角坐标系，再确定点C的的坐标即可． 【详解】解：因为，所以建立如图直角坐标系： 所以点C的坐标为． 故答案为：． 13．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【答案】北偏东27°的处 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解． 【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处． 故答案为：北偏东27度的处． 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）正十边形有 条对称轴． 【答案】十/10 【分析】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟记正十边形的轴对称性是解题的关键． 根据正十边形的轴对称性作答即可． 【详解】解：由题意知，正十边形有十条对称轴． 故答案为：十． 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的特征进行作答即可． 【详解】解：在镜子里看见的时间是，实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等， 16．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数：(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴ 解得： 则 故答案为：． 17．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为 ． 【答案】 【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度， A的位置可以表示成（60°，6）， ∴B可以表示为 (150°，4)． 故答案为： (150°，4) ． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数． 18．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∵是是的平分线， ∴在上， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（19-20八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 20．（21-22八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？ 【答案】3条，4条，5条，6条，8条；一个正n边形有n条对称轴． 【分析】根据图形的性质，分别找出对称轴的条数 【详解】正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴， 正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴， 正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴， 正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴， 正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴， 一般地，一个正n边形有n条对称轴． 【点睛】本题考查了正多边形的对称轴的条数，理解轴对称的性质是解题的关键． 21．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家，如图，小刚的家在 A 处，王奶奶的 家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为和 ，且，若点 A 到河岸 的中点 的距离为 1000 米，则小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少？    【答案】小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是2000米 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质．掌握轴对称的性质是解题的关键．作点A关于的对称点，连接与相交于M，则小刚从 A 处到河里M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小．根据全等三角形的判定和性质结合A到河岸的中点的距离为1000米，即可求出的值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接与相交于M，连接．    根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， 即小刚从 A 处到河里M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小， 根据作图结合题意可知，，， ∴， ∴， ∴M为的中点， ∵A到河岸的中点的距离为1000米， ∴米， ∴米 ∴（米）． 答：小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是2000米． 22．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东400m，再往北300m处，请在图中标出来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了用有序实数对表示位置，数形结合是解题的关键． （1）首先根据跳跳床的位置建立坐标系，然后即可表示出跷跷板和碰碰车的位置； （2）根据（1）画出的坐标系结合秋千的位置是即可求解； （3）根据旋转木马在大门以东400m，再往北300m处，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 下列两个游乐设施的位置：跷跷板，碰碰车； 故答案为：； （2）解：如图所示，秋千位置即为所求； （3）如图所示，旋转木马位置即为所求； 23．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知，，． (1)画出关于y轴对称的，并直接写出点B的对称点的坐标______； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)2 【分析】本题考查了坐标与图像，轴对称的性质，割补法求面积，解题关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数． （1）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，从而得到三点的对应点坐标，依次连接得到，再写出的坐标即可； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； 点B的对称点的坐标为， 故答案为： （2）解：的面积． 24．（全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【分析】根据镜面对称的性质即可解答. 【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．    【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 25．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据图象回答下面的问题： (1)用两种不同方法表示点A相对于点O的位置． (2)如果规定列号写在前面，行号写在后面，已知点B的位置为．在图中画出点B的位置，并求点B到点O的距离，量出点B相对于点O的方位． 【答案】(1)点A可以表示为或，或点A在点O的北偏东方向，距离点O为5个单位长度的位置． (2)点B的位置见解析，，点B在点O的北偏东方向． 【分析】（1）一种方法是用有序数对来表示位置，另一种方法是用方位角来表示； （2）根据点B的位置为作出点B，利用勾股定理求出，然后测量出β的度数，进而可得答案． 【详解】（1）解：用有序数对的方法来表示，点A可以表示为或， 如图，连接，则， 测量出的度数约为， 则点A在点O的北偏东方向，距离点O为5个单位长度的位置； 综上，点A可以表示为或，或点A在点O的北偏东方向，距离点O为5个单位长度的位置． （2）解：点B位置如图所示，连接， 则， 测量β的度数约为， ∴点B在点O的北偏东方向． 【点睛】本题考查了利用有序数对来表示位置，用方位来表示位置，勾股定理等知识，熟练掌握利用有序数对来表示位置的方法是解题的关键． 26．（20-21八年级上·福建三明·期中）这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置建了一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，回答下列问题： （1）用坐标表示狮子所在的点_____________； （2）动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为(3，﹣3)，请直接在图中标出大象所在的位置；（描出点，并写出大象二字） （3）若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下，南门所在的点的坐标是(﹣4，-1)则此时坐标原点是_______所在的点，此时飞禽所在的点的坐标是______． 【答案】（1）（-4，5）；（2）见解析；（3）两栖动物，（-1，3） 【分析】（1）直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出答案； （2）利用已知平面直角坐标系得出大象的位置； （3）利用飞禽所在的点的坐标是（-4，-1）得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）狮子所在的点为（-4，5）； （2）如图所示： （3）∵南门所在的点的坐标是(﹣4，-1) ∴两栖动物所在位置为原点 ∴飞禽所在的位置坐标是（-1，3） 故答案为：（1）（-4，5）；（3）两栖动物，（-1，3） 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$