第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（3分）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 3．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 4．（3分）在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的面积为（　　） A．30 B．40 C．24 D．48 5．（3分）要使▱ABCD成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 6．（3分）下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 7．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 8．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A．7 B．3 C．8 D．3 10．（3分）依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO＝BD＝3cm，则菱形的面积是 　 　cm2． 12．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF＝3，FB＝2，则线段BG的长度是 　 　． 13．（3分）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．若AB＝5，AC＝6，则四边形CODE的周长为 　 　． 14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在正方形内部且∠CED＝90°．连接BE，以BE、DE为边构造▱BEDF，连接CF，则线段CF的最小值为 　 　． 15．（3分）如图，将正方形（ABCD）纸片沿线段BE折叠之后，使点C落在正方形内部的点F处，测得∠ABF比∠EBF大9°，则折叠角∠EBF的度数为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分55分） 16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 17．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 18．（6分）如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长． 19．（8分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）说明EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下△ABC满足 　 　，四边形AECF是正方形？（直接写出答案，无需证明） 20．（6分）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EG平分∠AEF 交CD于点G，FH平分∠EFD交AB于点H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当∠AEF＝　 　°时，四边形EGFH是菱形． 21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）连接AE，若BD＝6，，求菱形ABCD的周长． 22．（6分）华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　 　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　 　中，AC、BD是两条对角线，且 　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． 23．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【解答】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等． 故选：B． 2．（3分）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图： ∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4． ∴AB＝5． ∴周长＝4×5＝20． 故选：C． 3．（3分）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴∠BCD＝∠BAD＝52°，AC平分∠BAD， ∴， 故选：A． 4．（3分）在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的面积为（　　） A．30 B．40 C．24 D．48 【答案】C 【解答】解：菱形的面积计算公式Sab（a、b为菱形对角线长） 故菱形的面积为Sab6×8＝24． 故选：C． 5．（3分）要使▱ABCD成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：A、添加AB＝BC，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项不符合题意； B、添加AC⊥BD，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项不符合题意； C、添加AB＝CD，不可以证明▱ABCD是矩形，故此选项不符合题意； D、添加AC＝BD能证明▱ABCD是矩形，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（3分）下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【答案】B 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：B． 7．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 8．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】B 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选B． 故选：B． 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A．7 B．3 C．8 D．3 【答案】D 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 10．（3分）依据所标数据，下列一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A中的对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； 选项B中同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； 选项C中只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； 选项D中的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO＝BD＝3cm，则菱形的面积是 　9　cm2． 【答案】9． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AO＝3cm，BD＝3cm， ∴AC＝2AO＝6cm， ∴菱形ABCD的面积AC×BD6×3＝9（cm2）， 故答案为：9． 12．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF＝3，FB＝2，则线段BG的长度是 　2.5　． 【答案】2.5． 【解答】解：∵AF＝3，BF＝2， ∴AB＝AF+BF＝3+2＝5， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，CD∥AB，AB＝CD＝5， ∵∠ABC+∠MBG＝180°， ∴∠MBG＝90°， ∵EF⊥AB， ∴∠EFB＝∠MBG＝90°， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ， ∴， ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△AGE， ∴， ， ， 10+2BG＝15， 2BG＝5， BG＝2.5， 故答案为：2.5． 13．（3分）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．若AB＝5，AC＝6，则四边形CODE的周长为 　14　． 【答案】14． 【解答】解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC， ∵AB＝5，AC＝6， ∴OA＝3，， ∴OC＝3，OD＝4， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形CODE为矩形， ∴四边形CODE的周长为2（OC+OD）＝2×（4+3）＝14； 故答案为：14． 14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在正方形内部且∠CED＝90°．连接BE，以BE、DE为边构造▱BEDF，连接CF，则线段CF的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接AF和BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴BF∥DE，BF＝DE， ∴∠FBD＝∠EDB， ∴∠ABD﹣∠FBD＝∠CDB﹣∠EDB， ∴∠ABF＝∠CDE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上运动，圆心O为AB的中点， 如图所示，OF+CF≥CO，即1+CF≥CO， ∴当且仅当C、F、O三点共线时，CF最小， ∴CF＝CO﹣OF， 在Rt△OBC中，，BC＝2， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（3分）如图，将正方形（ABCD）纸片沿线段BE折叠之后，使点C落在正方形内部的点F处，测得∠ABF比∠EBF大9°，则折叠角∠EBF的度数为 　27°　． 【答案】27°． 【解答】解：由折叠的性质得∠EBF＝∠EBC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， 由题意得∠ABF＝∠EBF+9°， ∴∠EBF+9°+2∠EBF＝90°， ∴∠EBF＝27°， 故答案为：27°． 三．解答题（共8小题，满分55分） 16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形． 17．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 【答案】2． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵E是AC的中点，DE＝4， ∴AC＝2DE＝8， 由勾股定理得：CD4， ∵AB＝10，AD＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴BC2． 18．（6分）如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：如图2，延长BA、CM交于点E， ∵M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2． ∴AM＝DM，AN＝BN＝2， ∴AB＝2BN＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠DCM， 又∵∠AME＝∠DMC， ∴△AEM≌△DCM（AAS）， ∴AE＝DC＝4， ∵∠BNC＝∠E+∠NCE＝2∠DCM， ∴∠NCE＝∠E， ∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6， ∴BC4． 19．（8分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）说明EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下△ABC满足 　∠ACB＝90°　，四边形AECF是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）证明过程见解析； （2）点O在边AC上运动到AC中点时；证明过程见解析； （3）∠ACB＝90°、． 【解答】解：（1）∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF， ∵MN∥BC， ∴∠BCE＝∠OEC，∠DCF＝∠OFC， ∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC， ∴△OCE，△OCF，都为等腰三角形， ∴EO＝OC＝FO． （2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 如图所示， ∵CO＝AO，EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF，∠BCE+∠ACE+∠DCF+∠ACF＝180°， ∴2∠ACE+2∠ACF＝180°， ∴∠ACE+∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． （3）在（2）前提下，当△ABC的∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．如图所示， ∵∠ACB＝90°，MN∥BC，CE平分∠BCA，CF平分∠ACD， ∴MN⊥OC，∠ECO＝∠FCO＝45°， ∴△ECO≌△FCO， ∴EC＝FC， ∴四边形AECF是正方形． 故答案为：∠ACB＝90°． 20．（6分）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EG平分∠AEF 交CD于点G，FH平分∠EFD交AB于点H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当∠AEF＝　120　°时，四边形EGFH是菱形． 【答案】（1）证明见解答； （2）120． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD， ∴∠GEF∠AEF，∠EFH∠EFD， ∴∠GEF＝∠EFH， ∴EG∥FH， ∵EH∥GF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：当∠AEF＝120° 时，四边形EGFH是菱形， 理由：∵AB∥CD， ∴∠FGE＝∠AEG， ∵∠FEG＝∠AEG， ∴∠FEG＝∠FGE， ∴FE＝FG， ∵∠AEF＝120°， ∴∠FEG∠AEF＝60°， ∴△FEG是等边三角形， ∵四边形EGFH是平行四边形，FG＝EG， ∴四边形EGFH是菱形， 故答案为：120． 21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）连接AE，若BD＝6，，求菱形ABCD的周长． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）20． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OCAC， ∴∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，DEAC， ∴DE＝OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：由（1）可知，平行四边形OCED是矩形， ∴∠ECA＝90°，EC＝ODBD＝3，DE＝OCAC， 由勾股定理可得，AC， ∴OC＝4， ∴DC， ∴菱形ABCD的周长＝5×4＝20． 22．（6分）华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　乙　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　平行四边形ABCD　中，AC、BD是两条对角线，且 　AC＝BD　． 求证：　平行四边形ABCD是矩形　． 证明：　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形．　． 【答案】（1）乙； （2）平行四边形ABCD；AC＝BD；平行四边形ABCD是矩形；∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 【解答】解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形， 所以乙的猜想正确； 故答案为：乙； （2）已知，在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD， 求证：平行四边形ABCD是矩形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：平行四边形ABCD；AC＝BD；平行四边形ABCD是矩形；∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 23．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）AB＝AC，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵CM∥BN， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴四边形BMCN是平行四边形． （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形， ∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AN⊥BC， ∴平行四边形BMCN是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$