第一章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第1章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，2，5 C．1，， D．3，4，5 2．（3分）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 3．（3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在△ACB中，∠ACB＝90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC＝2，AB＝5，则线段CD的长为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．若AF＝2FG＝2，则正方形ABCD的面积是（　　） A．5 B．3 C． D． 6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 7．（3分）如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2+BP•PC的值是（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 8．（3分）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80cm，高AB＝60cm，宽DF＝40cm．在顶点E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（　　）cm． A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为边长向外侧作正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHI，连接EF，GH，DI．若正方形AFGC的面积为9，正方形BCHI的面积为16，则六边形DEFGHI的面积为 　 　． 10．（3分）若一个三角形的三边长分别为，3，2，则此三角形的面积为 　 　． 11．（3分）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 　 　cm． 12．（3分）如图，AB与CD相交于点E，若∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，则AC+BD的最小值为 　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为　 　． 三．解答题（共8小题，满分61分） 14．（10分）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长度为AC的3倍． （1）求此时船离岸边AB的长；（结果保留根号） （2）若此人以0.5米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置．则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73） 15．（8分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 16．（6分）已知如图一块钢板，AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝3cm，AD＝4cm，∠ADC＝90°，求这块钢板的面积． 17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，①在图1中画出边长分别为：3，2，的三角形（不写画法）；②在图2中画出边长分别为，4，，4的平行四边形（不写画法）． 18．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA于A． 求：BD的长． 19．（10分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米． （1）求小溪流AC的长． （2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 20．（9分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 21．（6分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　 　，AB＝　 　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，2，5 C．1，， D．3，4，5 【答案】D 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴以1，2，3为边不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵2+2＝4＜5， ∴以2，3，4为边不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵12+（）2＝3，（）2＝2 ∴12+（）2≠（）2， ∴以1，，为边不能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵42+32＝25，52＝25， ∴42+32＝52， ∴以4，5，3为边能组成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 2．（3分）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 【答案】A 【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴，∠B＝180°60°，∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设a＝x，，c＝2x，且， 即a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3．（3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知，（b﹣a）2＝9， 又∵AB的长是小长方形宽的2倍， 即c＝2a， ∴ba， ∴（a﹣a）2＝9， ∴a（负值舍去）， ∴b， ∴最外围的大正方形的边长＝a+b6+3， 故选：D． 4．（3分）在△ACB中，∠ACB＝90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC＝2，AB＝5，则线段CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∵∠ACB＝90°，即CD⊥AC， ∴CD＝DE， 在Rt△ADE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴AE＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AC＝3， 在Rt△ACB中，AC＝2，AB＝5，， 设CD＝x，则， 在Rt△BED中，BD2＝BE2+DE2， ∴， 解得：， 即． 故选：D． 5．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．若AF＝2FG＝2，则正方形ABCD的面积是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵四个直角三角形全等，AF＝2FG＝2， ∴BG＝2，FG＝1， ∴BF＝1， ∴． ∴正方形ABCD的面积是， 故选：A． 6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC， 即BC的长是， 故选：B． 7．（3分）如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2+BP•PC的值是（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D． ∵AD⊥BC， ∴△ADP与△ABD都为直角三角形． ∴AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD． ∵PC＝CD+DP，BD＝CD， ∴PC＝BD+DP． ∵BP＝BD﹣DP，PC＝BD+DP， ∴BP•PC＝BD2﹣DP2． ∵AP2＝AD2+DP2，BP•PC＝BD2﹣DP2， ∴AP2+BP×PC＝AD2+BD2． ∵AB2＝AD2+BD2，AP2+BP×PC＝AD2+BD2， ∴AP2+BP•PC＝AB2． ∵AB＝4， ∴AP2+BP•PC＝16． 故选：A． 8．（3分）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80cm，高AB＝60cm，宽DF＝40cm．在顶点E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段AE的长， ∵AE2＝AF2+EF2， ∴AE2＝（80+40）2+602 ∴AE（cm）． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为边长向外侧作正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHI，连接EF，GH，DI．若正方形AFGC的面积为9，正方形BCHI的面积为16，则六边形DEFGHI的面积为 　74　． 【答案】74． 【解答】解：如图，过点E作EK⊥FA的延长线于点K， ∵∠EAK+∠KAB＝∠BAC+∠KAB＝90°， ∴∠EAK＝∠BAC， ∵∠AKE＝∠ACB＝90°，且AE＝AB， ∴△AKE≌△ACB（AAS）， ∴EK＝BC， ∵AF＝AC， ∴S△AFE＝S△ACB， 同理可证，S△BID＝S△ACB， 且S△GCH＝S△ACB， ∴六边形DEFGHI的面积为：S△AFE+S△GCH+S△BID+S△ACB+S正方形ABGF+S正方形BCHI+S正方形ABDE9+16+25＝74． 故答案为74． 10．（3分）若一个三角形的三边长分别为，3，2，则此三角形的面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：∵（）2+22＝5+4＝9，32＝9， ∴（）2+22＝32， ∴三边长分别为，3，2的三角形是直角三角形，其中两条直角边为和2， ∴此三角形的面积2， 故答案为：． 11．（3分）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 　　cm． 【答案】． 【解答】解：圆柱侧面展开如图所示，则AC＝A′C， 由题意可得AB＝10cm，BC＝B′CBB′20＝10（cm）， ∴AC10（cm）， ， ∴装饰带的最短长度＝2AC＝20（cm）， 故答案为：． 12．（3分）如图，AB与CD相交于点E，若∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，则AC+BD的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：沿CD方向平移CA到DF，作BG⊥AF于点G，连接BF． ∴AF＝CD＝3，DF＝CA，AF∥CD，∠AGB＝∠BGF＝90°． ∴∠BAF＝∠AEC＝60°，AC+BD＝DF+BD． ∴∠ABG＝30°，AC+BD的最小值为BF的长． ∴AGAB＝1． ∴GF＝AF﹣AG＝2，BG． ∴BF． 故答案为：． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD， ∴BE＝AB，∠E＝∠A＝30°， ∵点F是BE的中点， ∴BFBEAB， 过B作BF′⊥AC交AC的延长线于F′， ∴∠BF′A＝90°， ∵∠A＝30°， ∴BF′AB， ∴点F与点F′重合， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝6， ∴AF＝3， ∵AC， ∴CF＝2， 取AB的中点G，连接FG， 则FG∥CD，△BGF是等边三角形， 延长CD交BE于P， ∴∠BGF＝60°， ∴∠AFG＝30°， ∴∠FCD＝∠GFA＝30°， ∵∠CFP＝90°， ∴∠CPF＝60°， ∴∠PDE＝∠E＝30°， ∴PD＝PE， 在Rt△PCF中， ∵， ∴PF＝2，PC＝4， ∵EFBE＝3， ∴PE＝PD＝1， ∴CD＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共8小题，满分61分） 14．（10分）如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长度为AC的3倍． （1）求此时船离岸边AB的长；（结果保留根号） （2）若此人以0.5米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置．则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73） 【答案】（1）12米； （2）6.5米． 【解答】解：（1）∵开始时绳子BC的长度为AC的3倍． ∴BC＝18米， ∴AB12（米）； （2）如图，连接CD， ∵此人以0.5米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置． ∴船移动到点D的位置时绳长CD＝18﹣12×0.5＝12（米）， ∴AD6（米）， ∴船向岸边移动的距离为1266.5（米）， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 15．（8分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7， ∴CE＝10﹣7＝3， 在Rt△CBE中，BE5； （2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7， 则t＝7÷1＝7（秒）， 当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2， 解得，t， ∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 16．（6分）已知如图一块钢板，AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝3cm，AD＝4cm，∠ADC＝90°，求这块钢板的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC 由勾股定理得AC5cm ∵AB＝12cm，BC＝13cm，AC2+AB2＝BC2即52+122＝132， 故△ABC是直角三角形，∠CAB＝90° 故四边形ABCD的面积＝S△ABC﹣S△ACD AB•ACAD•CD 12×54×3 ＝30﹣6 ＝24cm2 17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，①在图1中画出边长分别为：3，2，的三角形（不写画法）；②在图2中画出边长分别为，4，，4的平行四边形（不写画法）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①如图1所示： ②如图2所示： 18．（6分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA于A． 求：BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴BE＝CE＝8， 在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE6， 设BD＝x，则DE＝8﹣x，DC＝16﹣x， 又DA⊥CA， 在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝DC2﹣AC2， 代入为：62+（8﹣x）2＝（16﹣x）2﹣102，解得：x． 即BD． 19．（10分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米． （1）求小溪流AC的长． （2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝15千米， ∴AC15千米； （2）∵AC2＝（15）2＝450，CD2+AD2＝（3）2+（12）2＝450， ∴AC2＝CD2+AD2， 则∠D＝90°， S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD 15×15 ． 20．（9分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　是　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　：：　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 则2a2＝3b2， 故a：b：， ∴设ax，bx， 则cx， ∴此三角形的三边长之比为：：：． 故答案为：：：； （3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形， ∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时， 解得：BD＝DC＝6， 则AB＝12， 故AC6， 则△ABC的面积为：6×6． 当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时， 解得：BD＝DC＝2， 则AB＝4， 故AC＝2， 则△ABC的面积为：6×26． 故△ABC的面积为或6． 21．（6分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　9　，AB＝　12　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D， ∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝2∠A， ∵∠BCA＝∠D+∠CBD， ∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A， ∴∠CBD＝∠A， ∴DC＝BC＝8， ∴AD＝DC+AC＝8+10＝18， ∴AE＝AD＝9， ∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1． ∴在直角△BCE和直角△AEB中， 由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92， 解得，AB＝12， 故答案为：9；12； （2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是边AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D． ∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴2∠A+∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠D+∠DBC， ∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC， ∵∠A＝∠D， ∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC， ∴DB＝DC＝c， 由题意得，DE＝AE， ∴EC＝AE﹣ACb， 在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2， 在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2， ∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2， 整理得，b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$