第一章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第1章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．（3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6 2．（3分）如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 3．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C． D．6，8，10 4．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 5．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　） A．50 B．36 C．47 D．64 6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（　　） A． B． C．或 D．或1 7．（3分）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）如图，线段AB，CD，那么线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（　　） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 10．（3分）已知△ABC中，AB，BC＝6，CA．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是　 　． 11．（3分）如图，一根旗杆在离地面0.9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部1.2米处，则旗杆折断之前有 　 　米． 12．（3分）若3，4，a是一组勾股数，则a＝　 　． 13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　 　． 14．（3分）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是S1，S2，则：S1+S2＝　 　． 15．（3分）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 　 　cm． 三．解答题（共5小题，满分55分） 16．（9分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c． （1）若a＝6，b＝8，则图1中大正方形的面积为 　 　； （2）猜想a2、b2、c2之间的数量关系，并按给出的格式说明理由． ∵S大正方形＝　 　，S大正方形＝　 　＝　 　， ∴　 　； （3）若图1中大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，现将四个直角三角形按如图2的形式重新摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 　 　． 17．（10分）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求AB的长． 18．（12分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个三角形ADC后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求图中阴影部分土地的面积． 19．（12分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． 20．（12分）赵爽是中国古代数学家、天文学家．大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作注时，介绍了“勾股圆方图”，后人称作“赵爽弦图”．它是由4个全等的直角三角形，围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．2002年，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，就是根据赵爽弦图设计制作的，不同区域颜色的明暗，使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系． 如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： （1）如图，正方形ABCD的面积为 　 　，正方形IJKL的面积为 　 　；（用含a，b的式子表示） （2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量关系为 　 　； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面积为，则求（a﹣b）2的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．（3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6 【答案】C 【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误； C、32+42＝52，能构成直角三角形，故选项正确； D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C． 2．（3分）如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【答案】A 【解答】解：∵在Rt△ABC中， AB＝5米，BC＝3米， ∴AC4（米）， 在Rt△CDE中， ∵DE＝AB＝5米，CE＝BC+BE＝3+1＝4（米）， ∴DC3（米）， ∴AD＝AC﹣DC＝4﹣3＝1（米）． 答：梯子顶端A下落了1米， 故选：A． 3．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C． D．6，8，10 【答案】C 【解答】解：A选项中，32+42＝52，能构成直角三角形，不满足题意． B选项中，52+122＝132，能构成直角三角形，不满足题意． C选项中，，不能构成直角三角形，满足题意． D选项中，62+82＝102，能构成直角三角形，不满足题意． 故选：C． 4．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 【答案】C 【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方， ∴直角三角形①中较短的直角边长5cm， ∵直角三角形①中较长的直角边长12cm， ∴直角三角形 ①的面积（cm2）， 故选：C． 5．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　） A．50 B．36 C．47 D．64 【答案】C 【解答】解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2， ∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4， ∵所有的三角都是直角三角形， ∴SA+SB+SC+SD＝SF， ∴S＝47， 故选：C． 6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（　　） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2， ∴CQ； 当点Q在BC延长线上时，BQ＝CQ+BC1； 当点Q在CB延长线上时，BQ＝CQ﹣BC1； 故选：C． 7．（3分）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：连接AB，BD，AC，AD， 由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，AC2＝22+42＝20，BD2＝32+42＝25，AD2＝CD2＝12+32＝10， ∵BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2， ∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形， 即直角三角形有2个， 故选：B． 8．（3分）如图，线段AB，CD，那么线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AB，CD， ∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的， 则EF． 故选：D． 9．（3分）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（　　） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【答案】B 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD， 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长． ∵圆柱的底面周长是32cm，高是24cm， ∴AB2＝322+242＝1600（cm）， ∴AB＝40cm． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 10．（3分）已知△ABC中，AB，BC＝6，CA．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（）2＝62+（）2， ∴AB2＝BC2+CA2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角． 在直角△AMC中，CA，CMBC＝3， ∴∠CMA＝30°， ∴∠DMB＝30°， 在直角△BDM中，BD＝BM•sin∠DMB＝3． 故答案为：． 11．（3分）如图，一根旗杆在离地面0.9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部1.2米处，则旗杆折断之前有 　2.4　米． 【答案】2.4． 【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为1.2米，一根旗杆在离地面0.9米处断裂，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为（米）， 所以旗杆折断之前大致有1.5+0.9＝2.4（米）， 故答案为：2.4． 12．（3分）若3，4，a是一组勾股数，则a＝　5　． 【答案】5． 【解答】解：①a为最长边，a5，三边是整数，能构成勾股数，符合题意； ②4为最长边，a，不是正整数，不符合题意． 故答案为：5． 13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝1， ∴AC， ∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M， AM＝AC， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示的数为：1， 故答案为：1． 14．（3分）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是S1，S2，则：S1+S2＝　1　． 【答案】1． 【解答】解：如图， ∵a、b、c都是正方形， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2， 即Sb＝Sa+Sc＝1， ∴S1+S2＝1． 故答案为：1． 15．（3分）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 　13　cm． 【答案】13． 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+1个等边三角形的边长， ∴长为11+1＝12（m）；宽为5cm． 于是最短路径为：13（cm）， 故答案为：13． 三．解答题（共5小题，满分55分） 16．（9分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c． （1）若a＝6，b＝8，则图1中大正方形的面积为 　100　； （2）猜想a2、b2、c2之间的数量关系，并按给出的格式说明理由． ∵S大正方形＝　c2　，S大正方形＝　4ab+（a﹣b）2　＝　a2+b2　， ∴　a2+b2＝c2　； （3）若图1中大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，现将四个直角三角形按如图2的形式重新摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 　29　． 【答案】（1）100；（2）c2，4ab+（a﹣b）2，a2+b2，a2+b2＝c2；（3）29． 【解答】解：（1）∵a＝6，b＝8， ∴图1中大正方形的面积＝c2＝a2+b2＝62+82＝100； 故答案为：100； （2）∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4ab+（a﹣b）2 ＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2； 故答案为：c2，4ab+（a﹣b）2，a2+b2，a2+b2＝c2； （3）∵图1中大正方形的面积是15， ∴a2+b2＝c2＝15， ∵小正方形的面积是1， ∴（a﹣b）2＝a+b2﹣2ab＝1， ∴ab＝7， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝15+2×7＝29； 故答案为：29． 17．（10分）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求AB的长． 【答案】（1）证明给出见解答； （2）cm． 【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm， ∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，即BC2＝BD2+CD2， ∴△BDC为直角三角形； （2）解：设AB＝x cm， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB＝AC＝x cm． ∵△BDC为直角三角形， ∴△ADC为直角三角形， ∴AD2+CD2＝AC2，即x2＝（x﹣5）2+122， 解得：， 故AB的长为cm． 18．（12分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个三角形ADC后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【答案】（1）△ACD是直角三角形； （2）24平方米． 【解答】解：（1）△ACD是直角三角形， 理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， ∴AC5（米）， ∵CD＝3米，AD＝4米， ∴AD2+CD2＝AC2＝25， ∴∠ADC＝90°， ∴△ACD是直角三角形； （2）图中阴影部分土地的面积AC×BCAD×CD5×124×3＝24（平方米）． 19．（12分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+1， 由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5， ∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得x＝12， 答：风筝距离地面的高度AB为12米． 20．（12分）赵爽是中国古代数学家、天文学家．大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作注时，介绍了“勾股圆方图”，后人称作“赵爽弦图”．它是由4个全等的直角三角形，围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．2002年，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，就是根据赵爽弦图设计制作的，不同区域颜色的明暗，使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系． 如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： （1）如图，正方形ABCD的面积为 　（a+b）2　，正方形IJKL的面积为 　（a﹣b）2　；（用含a，b的式子表示） （2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量关系为 　（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2　； （3）请通过运算证明上述等量关系； （4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面积为，则求（a﹣b）2的值． 【答案】（1）（a+b）2；（a﹣b）2； （2）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2； （3）见解析； （4）（a﹣b）2的值为4． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为（a+b），正方形IJKL的边长为（a﹣b）， ∴正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形IJKL的面积为（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2； （2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形IJKL， 可得（a+b）2＝8ab+（a+b）2，即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2； （3）左边＝a2+2ab+b2， 右边＝4ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2， ∴左边＝右边， ∴（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2成立； （4）正方形EFGH的面积为（a+b）2＝4ab＝a2+b2， 由题意得S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， ∵S1+S2+S3＝30，ab，即ab＝3， ∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝30， 解得a2+b2＝10， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4， ∴（a﹣b）2的值为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$