第1章 直线与方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 3．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 【答案】C 【分析】利用两条直线平行的性质，分类讨论与即可得解. 【详解】因为，， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得； 综上，或. 故选：C. 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 6．（21-22高二上·北京·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】的斜率为，设倾斜角为，， 则，解得，故倾斜角为. 故选：A 7．（22-23高二上·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得答案. 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，， 即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：， 由， 得， 解得，. 故选：D. 8．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高三下·全国·强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 【答案】AB 【分析】若，则，或，根据点与直线的位置关系判定A；若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系判断B；为两点到直线的距离，判断C；点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而判断D． 【详解】若，则，或， 即点在直线的同侧，且直线与线段不平行．故A正确； 若，则，即， 若，则，过两点的直线与直线斜率都不存在，故平行， 若，则，，即过两点的直线与直线平行，故B正确； 因为，即为两点到直线的距离， 若，则，即两点到直线的距离相等，且直线l两侧， 但l与射线PQ不一定垂直，即C不正确； 若点在直线上，则， 结合题设及分母不为0，不存在实数，使点在直线上，故D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【分析】根据内角和定理得出直线的倾斜角. 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·随堂练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 16．(本小题满分15分)（22-23高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 17．(本小题满分15分)（24-25高二下·上海·随堂练习）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 18．(本小题满分17分)（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)存在，． 【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 19．(本小题满分17分)（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)最小值为3，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，，故， 由曼哈顿距离不大于5，得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上，的取值范围是. （2）因为， 故， 由题意可得恒成立， 因为， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 所以，则或，解得或. 故的取值范围是. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故 当时，，函数在上单调递增， 故， 当且仅当时取等号. 当时，. 令，由于，故，. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号. 综上可知，的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 3．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（21-22高二上·北京·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 10．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 11．（23-24高三下·全国·强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．（24-25高二下·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    13．（24-25高二下·上海·随堂练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 14．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 16．(本小题满分15分)（22-23高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 17．(本小题满分15分)（24-25高二下·上海·随堂练习）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 18．(本小题满分17分)（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．(本小题满分17分)（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$