第1章 直线与方程 知识归纳与题型突破（单元复习 20类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率． k＝(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． (3)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝＝＝. 要点诠释： (1)斜率公式不适用于直线与x轴垂直(x1＝x2)的情况，在使用斜率公式时，若两点的横坐标含有参数，则要注意分类讨论． (2)直线l上P，Q两点的选取是任意的，即P，Q无论怎样选取都不会影响斜率k的最终结果． (3)P，Q两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (4)若y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，斜率k＝0. 二、直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α＜π} 作用 表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 三、直线的倾斜角与斜率的关系 1.当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在； 2.当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝tan α＝. 3.直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 四、直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P1(x1，y1)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y1＝k(x－x1) 适用条件 斜率存在 要点诠释： (1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x1，y1)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程． (2)方程y－y1＝k(x－x1)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x1，y1)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y1＝k(x－x1)表示恒过定点(x1，y1)的无数条直线． 五、直线的斜截式方程 1．直线l的截距的定义 (1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． (2)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距． 2．直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 要点诠释： 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 六、直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 要点诠释： 方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？ 提示：不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线． 七、直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适应条件 斜率存在且不为零，不过原点 要点诠释： (1)直线的截距式方程是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点． (2)利用直线的截距式方程的前提条件是a≠0且b≠0(即ab≠0)，即当直线经过原点或与坐标轴垂直时，则不可用截距式表示． 八、直线的一般式方程 1.定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． 3.系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 九、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 十、两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 十一、直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、两点间的距离 1.条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 2.结论：|P1P2|＝. 十三、中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 十四、点到直线的距离 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 十五、两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 03 题型归纳 题型一　直线的倾斜角 例题：求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　(3) 【点睛】求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 　 巩固训练 1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　 ) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 题型二　直线的斜率 例题：(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1　 　　 B．5 C．－1　 　　 D．－5 (2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为______． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 【点睛】解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列式求解． 巩固训练 1．已知点A(1，)，B(－1,3)，则直线AB的倾斜角为(　 ) A. B． C. D． 2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 题型三　直线的倾斜角与斜率的综合问题 例题：已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【点睛】解决取值范围问题的策略 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置．　　 巩固训练 1．若直线l过点A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是(　 ) A. B．∪ C. D．∪ 2.若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是________． 题型四　直线的点斜式方程 例题：(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且与y轴正方向的夹角为30°的直线方程为________． 【点睛】求直线的点斜式方程的思路 提醒：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．　　 巩固训练 1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 2．已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 题型五　直线的斜截式方程 例题：根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 【点睛】直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．　　 巩固训练 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. 题型六　直线的点斜式、斜截式方程的应用 例题：已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【点睛】(1)直线的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b. (2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．　 巩固训练 1.已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程． (1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)； (2)直线l与坐标轴围成等腰三角形． 2.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 题型七　直线的两点式方程 例题：已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程． 【点睛】求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)差的顺序性：常会将x，y或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．　　 巩固训练 1．经过点(3,5)，(－1,4)的直线方程为____________． 2．已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 题型八　直线的截距式方程 例题：求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【点睛】应用直线的截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．　 巩固训练 1.求过点A(－3，－4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 2.求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程． 题型九　直线方程的综合问题 例题：若A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B(3,2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标． 【点睛】(1)涉及直线与坐标轴围成的面积问题，一般把直线的方程用截距式表示，利用直线在坐标轴上的截距表示面积． (2)解答此类问题需注意直线的截距与三角形边长的区别与联系．　　 巩固训练 已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型十　直线的一般式方程与其他形式的互化 例题：(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4，2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). 【点睛】1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． 巩固训练 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 题型十一　直线过定点问题 例题：求直线l: (m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标． 【点睛】求直线过定点的基本方法：法一是点斜式的应用，法二是代数方法处理恒成立问题的基本思想． 巩固训练 不论m为何值，直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过定点(　　) A． B． C． D． 题型十二　含参数的直线一般式方程问题 例题：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 【点睛】直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． 巩固训练 1.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.若直线在y轴的截距为2，求字母a的值．这时直线的一般式方程是什么？ 2.若直线l：5ax－5y－a＋3＝0的倾斜角为直线x－y＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程． 题型十三　两直线平行或垂直的判定 例题：判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0； (2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40). 【点睛】1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇒l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2. 判断两直线垂直的方法 (1) (2)若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 巩固训练 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0. (2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0； (3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0. 题型十四　由平行或垂直关系求直线的方程 例题：(1)求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程． (2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程． 【点睛】1．根据平行关系求直线方程的方法 (1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． 2．根据垂直关系求直线的方程的方法 (1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． 巩固训练 1．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程． 2．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程． 题型十五　两条直线的交点问题 例题：判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 【点睛】两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 巩固训练 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－　 B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 题型十六　直线恒过定点问题 例题：求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． 【点睛】解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0). 巩固训练 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． 题型十七　两点间的距离 例题：如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 【点睛】计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 巩固训练 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 题型十八　中点坐标公式及应用 例题：△ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程． 【点睛】求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． 巩固训练 若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 题型十九　点到直线的距离 例题：(1)已知点A(a，3)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． (2)求点P(1，2)到下列直线的距离： ①y＝x－；②y＝4；③x＝－3. 【点睛】点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后利用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． 巩固训练 求点P0(―1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0. 题型二十　两条平行线间的距离 例题：(1)两条直线l1：3x＋4y－4＝0，l2：6x＋my＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．1 (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 【点睛】求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． 巩固训练 已知直线l的方程为2x－y＋1＝0. (1)求过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程； (2)求与直线l平行，且到点P(3，0)的距离为的直线l2的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与方程 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率． k＝(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． (3)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝＝＝. 要点诠释： (1)斜率公式不适用于直线与x轴垂直(x1＝x2)的情况，在使用斜率公式时，若两点的横坐标含有参数，则要注意分类讨论． (2)直线l上P，Q两点的选取是任意的，即P，Q无论怎样选取都不会影响斜率k的最终结果． (3)P，Q两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (4)若y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，斜率k＝0. 二、直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α＜π} 作用 表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 三、直线的倾斜角与斜率的关系 1.当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在； 2.当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝tan α＝. 3.直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 四、直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P1(x1，y1)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y1＝k(x－x1) 适用条件 斜率存在 要点诠释： (1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x1，y1)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程． (2)方程y－y1＝k(x－x1)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x1，y1)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y1＝k(x－x1)表示恒过定点(x1，y1)的无数条直线． 五、直线的斜截式方程 1．直线l的截距的定义 (1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． (2)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距． 2．直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 要点诠释： 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 六、直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 要点诠释： 方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？ 提示：不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线． 七、直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适应条件 斜率存在且不为零，不过原点 要点诠释： (1)直线的截距式方程是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点． (2)利用直线的截距式方程的前提条件是a≠0且b≠0(即ab≠0)，即当直线经过原点或与坐标轴垂直时，则不可用截距式表示． 八、直线的一般式方程 1.定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． 3.系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 九、两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 十、两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 十一、直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、两点间的距离 1.条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 2.结论：|P1P2|＝. 十三、中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 十四、点到直线的距离 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 十五、两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 03 题型归纳 题型一　直线的倾斜角 例题：求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　(3) 解析　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. ①　　　　　②　　　　　③ 【点睛】求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 　 巩固训练 1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　 ) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 解析：选C　根据倾斜角的定义，并结合图形(图略)知，所求直线的倾斜角为180°－α. 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：135° 题型二　直线的斜率 例题：(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1　 　　 B．5 C．－1　 　　 D．－5 (2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为______． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 解析 (1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°， ∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.故选D. (2)由斜率公式得kAB＝＝2，因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kAC，所以2＝，解得a＝4.] (3)直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴kl1＝tan 30°＝，kl2＝tan 120°＝－. 【点睛】解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列式求解． 巩固训练 1．已知点A(1，)，B(－1,3)，则直线AB的倾斜角为(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　设直线AB的倾斜角为α，则直线AB的斜率k＝＝－，即tan α＝－，因为α∈[0，π)，可以α＝. 2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 解析：依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1. kAC＝＝＝－1， kBC＝＝， 由题意得kAC＝3kBC， ∵－1＝3×，解得m＝4. 答案：4 题型三　直线的倾斜角与斜率的综合问题 例题：已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解析　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， ∴α的取值范围是45°≤α≤135°. 【点睛】解决取值范围问题的策略 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置．　　 巩固训练 1．若直线l过点A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是(　 ) A. B．∪ C. D．∪ 解析：选D　设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1－a2， 因为a∈R，所以1－a2≤1，即tan θ≤1， 因为θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或＜θ＜π， 所以直线l的倾斜角的取值范围是 ∪，故选D. 2.若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是________． 解析：根据已知条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点， 那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率． 由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象(图略)，可得的取值范围是.] 答案：　 题型四　直线的点斜式方程 例题：(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5，2)且与y轴正方向的夹角为30°的直线方程为________． 解析：(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线与y轴正方向夹角为30°，所以直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝，所以直线的点斜式方程为y－2＝(x＋5).] 答案：(1)y－5＝x－2　(2)y－2＝(x＋5)　 【点睛】求直线的点斜式方程的思路 提醒：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．　　 巩固训练 1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 解析：(1)由点斜式方程得 y－4＝2(x－3). (2)与x轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 2．已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解析：∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为60°， ∵直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan 120°＝－， 又直线l过点P(，－1)，∴直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＋1＝－(x－)． 题型五　直线的斜截式方程 例题：根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解析：(1)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (2)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)． ∴k＝＝，∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2. 【点睛】直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．　　 巩固训练 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. 解 (1)由直线的斜截式方程可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝， ∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5. 题型六　直线的点斜式、斜截式方程的应用 例题：已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 解析：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则构不成三角形，设其斜率为k(k≠0)， 则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为＝4， 即(2k＋3)＝±8. 若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解． 若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0， 解得k＝－或k＝－， 所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)， 即y＝－x＋2或y＝－x－6. 【点睛】(1)直线的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b. (2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．　 巩固训练 1.已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程． (1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(m≠n)； (2)直线l与坐标轴围成等腰三角形． 解析：(1)由题意得直线l的斜率为k＝＝－1， 所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2. (2)因为直线l在y轴上的截距为－2， 所以l与y轴的交点为P(0，－2)， 而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形， 所以l与x轴的交点坐标为(－2，0)或(2，0). 由过两点的斜率公式得k＝－1或1， 所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2. 2.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 解析：易知直线AB的斜率存在且不为零， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k. 在直线AB的方程中，令x＝0，可得y＝1－3k；令y＝0，可得x＝. 所以点A，B(0,1－3k)． 由已知条件可得解得k<0. △AOB的面积为 S＝×(1－3k)×＝≥×＝6. 当且仅当－9k＝－(k<0)时，即当k＝－时，等号成立， 所以直线AB的方程为y＝－x＋2. 题型七　直线的两点式方程 例题：已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程． 解析：(1)由两点式得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)， 由两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0. 【点睛】求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)差的顺序性：常会将x，y或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．　　 巩固训练 1．经过点(3,5)，(－1,4)的直线方程为____________． 解析：代入方程的两点式得＝，整理得x－4y＋17＝0. 答案：x－4y＋17＝0 2．已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 解：由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 题型八　直线的截距式方程 例题：求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解析　①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【点睛】应用直线的截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．　 巩固训练 1.求过点A(－3，－4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解析:①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又l过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0. ②当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点A(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 2.求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程． 解析:①当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7，所以直线l的方程为x＋y－7＝0. ②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 题型九　直线方程的综合问题 例题：若A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B(3,2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标． 解析　如图，设点A的坐标为(m,3m)(m＞0)． (1)当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为＝.令y＝0，得xC＝. 因为点C在x轴的正半轴上，所以＞0，即m＞. 所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝× ≥×＝×8＝. 当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为. (2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3,9)，此时S△AOC＝×3×9＝＞.综上所述，△AOC的面积的最小值为，此时点A的坐标为. 【点睛】(1)涉及直线与坐标轴围成的面积问题，一般把直线的方程用截距式表示，利用直线在坐标轴上的截距表示面积． (2)解答此类问题需注意直线的截距与三角形边长的区别与联系．　　 巩固训练 已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 若满足条件(1)，则a＋b＋＝12. ① 又∵直线过点P，∴＋＝1. ② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或 ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12， ③ 由题意得＋＝1， ④ 由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得或 ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0. 题型十　直线的一般式方程与其他形式的互化 例题：(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4，2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). 解析　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2. 截距式方程为：＋＝1. 由此可知，直线l的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. (2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. ②由斜截式得y＝2，即y－2＝0. ③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. ④由两点式得＝，即x＋y－1＝0. 【点睛】1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． 巩固训练 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解析　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 题型十一　直线过定点问题 例题：求直线l: (m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标． 解析　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， 由直线的点斜式方程可知直线l过定点(－2，3). 法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0. 令解得 ∴直线l过定点(－2，3). 【点睛】求直线过定点的基本方法：法一是点斜式的应用，法二是代数方法处理恒成立问题的基本思想． 巩固训练 不论m为何值，直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过定点(　　) A． B． C． D． 解析　整理直线方程3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0得：m(3x＋2y)－＝0， 故直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过3x＋2y＝0与3x－2y＋12＝0的交点， 联立方程解得x＝－2，y＝3， 故直线3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0过定点(－2，3).] 答案 C　 题型十二　含参数的直线一般式方程问题 例题：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解析(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内， 故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立， 必有即 即l过定点A. 以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3. 【点睛】直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． 巩固训练 1.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.若直线在y轴的截距为2，求字母a的值．这时直线的一般式方程是什么？ 解析:把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋. 由条件可知＝2解得a＝－7， 这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0. 2.若直线l：5ax－5y－a＋3＝0的倾斜角为直线x－y＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程． 解析:直线x－y＋3＝0的倾斜角为α，由k＝tan α知，α＝60°，直线l的倾斜角为120°， 斜率k＝tan 120°＝－.又斜率k＝a，所以a＝－，所以直线方程为5x＋5y－3－＝0. 题型十三　两直线平行或垂直的判定 例题：判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0； (2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40). 解析　　(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2. (2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合． (3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2. (4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2. 【点睛】1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇒l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2. 判断两直线垂直的方法 (1) (2)若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 巩固训练 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0. (2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0； (3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0. 解析　(1)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交． (2)l2：3y－2x＋4＝0，可变形为2x－3y－4＝0， 所以2×(－3)－2×(－3)＝0， 又2×(－4)－4×2≠0，所以l1∥l2. (3)由题意知，－4×2＋(－3)×6≠0，l1与l2不垂直． 又2×6－(－3)×(－4)＝0， 而2×(－8)－(－4)×4＝0， 所以l1，l2重合． 题型十四　由平行或垂直关系求直线的方程 例题：(1)求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程． (2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程． 解析　(1)法一：∵l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. ∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由题意可设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0. 令x＝0，得y＝－，即可设A； 令y＝0，得x＝－，即B. 又∵△AOB周长为10，即OA＋OB＋AB＝10， ∴＋＋＝10，解得b＝±10， 故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. 【点睛】1．根据平行关系求直线方程的方法 (1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． 2．根据垂直关系求直线的方程的方法 (1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． 巩固训练 1．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程． 解析　法一：因为klkl1＝－1，kl＝－， 所以kl1＝， 故直线l1的方程为y－2＝(x－2)， 即4x－3y－2＝0. 法二：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0. 因为l1经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l1的方程为4x－3y－2＝0. 2．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程． 解析　法一：∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－， ∴设所求直线方程为y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝. 由题意，b>0，>0， ∴×b×＝15，∴b＝5， 故所求直线方程为y＝－x＋5， 即5x＋6y－30＝0. 法二：与5x＋6y＋9＝0平行的直线可设为5x＋6y＋m＝0(m≠9)， 则令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－. 由题意得故m<0，∴××＝15，解得m＝－30， 故所求直线方程为5x＋6y－30＝0. 题型十五　两条直线的交点问题 例题：判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解析　　法一：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 法二：(1)∵kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，∴l1与l2相交， 由得故l1与l2的交点为(3，－1). (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0， 由＝≠知两直线l1与l2平行． 【点睛】两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 巩固训练 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－　 B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 解析　法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k， 直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内， 则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)， 因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C. 法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由得 又交点在第一象限内，所以 解得－＜k＜2.] 答案 C　 题型十六　直线恒过定点问题 例题：求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． 证明 法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0. 解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3). 将点(2，－3)代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0. 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于m取值的任意性，有 解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 【点睛】解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0). 巩固训练 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． 解析　法一：取m＝1，得直线y＝－4. 取m＝，得直线x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)， 下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4).将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4). 法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立， ∴解得 故直线恒过定点(9，－4).] 答案　（9，－4)　 题型十七　两点间的距离 例题：如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解析　法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 【点睛】计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 巩固训练 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解析　设P(x，0)，|PA|＝， |PB|＝，∵|PA|＝|PB|， ∴＝， 解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PA|＝＝2. 题型十八　中点坐标公式及应用 例题：△ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程． 解析　因为B(2，1)，C(－2，3)，所以kBC＝＝－， 线段BC的中点坐标是，即(0，2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0. 【点睛】求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． 巩固训练 若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 解析　由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0).因此所求直线方程为＝，即x－3y－2＝0.] 答案 C　 题型十九　点到直线的距离 例题：(1)已知点A(a，3)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． 解析　由点到直线的距离公式得 ＝1，解得a＝±， 又a>0，所以a＝. 答案 　 (2)求点P(1，2)到下列直线的距离： ①y＝x－；②y＝4；③x＝－3. 解析　(2)　①把方程y＝x－写成3x－4y－5＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2. ②法一：把方程y＝4写成0·x＋y－4＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2. 法二：因为直线y＝4平行于x轴，所以d＝|4－2|＝2. ③因为直线x＝－3平行于y轴，所以d＝|－3－1|＝4. 【点睛】点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后利用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． 巩固训练 求点P0(―1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0. 解析　(1)根据点到直线的距离公式得 d＝＝＝2. (2)直线方程可化为x＋y―2＝0， 所以d＝＝. (3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1. 题型二十　两条平行线间的距离 例题：(1)两条直线l1：3x＋4y－4＝0，l2：6x＋my＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．1 解析 （1） ∵l1∥l2，∴3×m－6×4＝0，∴m＝8. ∴直线l2的方程为6x＋8y＋2＝0，即3x＋4y＋1＝0. 法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝1. 法二：在l1上取一点M(0，1)，则点M到l2的距离 d＝＝1即为所求．] 答案 D　 (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 解析 (2)当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 【点睛】求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． 巩固训练 已知直线l的方程为2x－y＋1＝0. (1)求过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程； (2)求与直线l平行，且到点P(3，0)的距离为的直线l2的方程． 解析 　(1)∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－， 又∵过点A(3，2)，∴所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0. (2)依题意设所求直线方程为2x－y＋c＝0， ∵点P(3，0)到该直线的距离为， ∴＝，解得c＝－1或c＝－11， 所以，所求直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$