21.1 一元二次方程（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

（人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.1 一元二次方程 一元二次方程的概念知识点一 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 一元二次方程的一般形式知识点二 ◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 一元二次方程的解（根）知识点三 ◆一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． ◆一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 题型一 一元二次方程的识别 【例题1】（2024春•崇左期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝0 B．x2﹣x+1＝0 C． D．2xy＝0 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【变式1-1】（2024春•拱墅区期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A．2ax2+x+1＝0 B．x＝0 C．xy+x＝0 D．x2+x＝0 【变式1-2】（2024春•蚌埠期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0 【变式1-3】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x C．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝0 【变式1-4】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-5】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（　　） ①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③；④ax2+bx+c＝0；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 由一元二次方程的定义求字母的取值范围 【例题2】（2024春•肇源县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　． 由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 【变式2-1】（2023秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2 【变式2-2】（2023秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2 【变式2-3】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或 m≠2 D．m≠﹣2，且 m≠2 【变式2-4】（2023秋•密云区期末）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　 ． 【变式2-5】（2023春•花山区校级期中）关于x的方程（a﹣1）2x2+ax+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 【变式2-6】（2023秋•墨玉县期中）若方程mx2+3x﹣4＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 ． 【变式2-7】（2023春•淮北月考）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 题型三 由一元二次方程的定义求字母的值 【例题3】（2024春•贺州期末）已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A． ﹣1 B．0 C．3 D．﹣1或3 B． 根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【变式3-1】（2023秋•渭滨区期末）已知x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或﹣2 C．0 D．﹣2 【变式3-2】（2024春•凤阳县期末）关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【变式3-3】（2023春•西湖区校级期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值 是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2 【变式3-4】（2024春•重庆期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 【变式3-5】（2023秋•沙依巴克区校级期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝　　． 【变式3-6】（2023秋•南部县校级月考）已知关于x的方程（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 题型四 一元二次方程的一般形式 【例题4】（2024春•淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　） A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【变式4-1】（2024春•通州区期末）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，3 B．0，2，﹣3 C．0，﹣2，﹣3 D．1，2，﹣3 【变式4-2】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【变式4-3】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 【变式4-4】（2023春•上城区校级期中）把关于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是 　 ，其中常数项是 　 ． 【变式4-5】（2023秋•花垣县月考）一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后，二次项的系数为 　 　． 【变式4-6】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项： （1）x2＝3x+1； （2）9x2＝4； （3）4x（x+1）﹣x（x﹣2）＝2； （4）（3x﹣2）（x+1）＝8． 题型五 由一元二次方程的解求字母的值 【例题5】（2023•蚌埠二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【变式5-1】（2023秋•二道区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值 是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 【变式5-2】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 【变式5-3】（2023春•鹿城区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值 是（　　） A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D． 【变式5-4】（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 【变式5-5】（2023•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【变式5-6】（2023•博罗县校级开学）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值． 题型六 由一元二次方程的解求代数式的值 【例题6】（2024•高州市一模）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式a2﹣2a的值 为（　　） A．4 B．8 C． D． 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可. 【变式6-1】（2023•枣庄）若x＝3是关x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　． 【变式6-2】（2023•定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 　 　． 【变式6-3】（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m1的值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式6-4】（2024•海淀区校级模拟）已知m是方程x2﹣4x+1＝0的根，求代数式的值． 【变式6-5】（2024•南山区校级三模）已知，． （1）化简A； （2）若a是方程x2+2x＝8的一个根，求A的值． 【变式6-6】（2023春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4040a﹣3的值； （2）代数式a2﹣2019a的值． 题型七 已知一元二次方程的根求另一方程的根 【例题7】（2024春•衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025 已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定义代入原方程中，得到关于字母参数的方程，再来求另一方程的根. 【变式7-1】（2024春•利辛县期末）若a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【变式7-2】关于x的一元二次方程a（b﹣c）x2+b（c﹣a）x+c（a﹣b）＝0必有一个根为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2 【变式7-3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式7-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式7-5】（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为 　 　． 【变式7-6】（2023秋•南安市期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（　　） A．±2020 B． C．﹣2020 D．± 【变式7-7】（2023秋•丰顺县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 题型八 根据实际问题列简单的一元二次方程 【例题8】（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【变式8-1】（2023•襄州区模拟）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是 ． 【变式8-2】（2023•长沙一模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 【变式8-3】（2023•喀什地区三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 【变式8-4】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【变式8-5】（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） ​ A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 【变式8-6】（2023•鲤城区模拟）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.1 一元二次方程 一元二次方程的概念知识点一 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 一元二次方程的一般形式知识点二 ◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 一元二次方程的解（根）知识点三 ◆一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． ◆一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 题型一 一元二次方程的识别 【例题1】（2024春•崇左期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝0 B．x2﹣x+1＝0 C． D．2xy＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可． 【解答】解：A、2x﹣2＝0是一元一次方程，不符合题意； B、x2﹣x+1＝0是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、2xy＝0是二元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【变式1-1】（2024春•拱墅区期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A．2ax2+x+1＝0 B．x＝0 C．xy+x＝0 D．x2+x＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：A．当a＝0时，2ax2+x+1＝0不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B．x＝0，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； C．xy+x＝0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2+x＝0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式1-2】（2024春•蚌埠期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　） A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0 【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意； C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意； D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【变式1-3】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x C．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断． 【解答】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ∴A选项不是整式方程，不符合题意； B选项化简，得x﹣1＝0，不含有2次项， ∴B选项不符合题意； C选项符合题意； D选项当a＝0时，不含有2次项， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键． 【变式1-4】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程）分别分析得出答案． 【解答】解：是一元一次方程，不合题意； 是一元二次方程，符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 不符合一元二次方程的定义，不合题意；x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意； ax2+bx+c＝0不符合一元二次方程的定义，不合题意； ∴其中一元二次方程的个数为：2， 故选：A． 【点评】此题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程具备的条件是解题的关键． 【变式1-5】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（　　） ①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③；④ax2+bx+c＝0；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【解答】解：①2x2﹣x+1＝0、⑤符合一元二次方程的定义，符合题意； ②由x（x﹣1）＝2x2得到：x2+x＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意； ③是分式方程，不符合题意； ④当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 所以一元二次方程的个数为3个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 题型二 由一元二次方程的定义求字母的取值范围 【例题2】（2024春•肇源县期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【解答】解：根据题意得，m2﹣1≠0，且2m≥0， ∴m≠±1且m≥0， ∴m≥0且m≠1． 故答案为：m≥0且m≠1． 【点评】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 【变式2-1】（2023秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），可得a﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： a﹣2≠0， 解得：a≠2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式2-2】（2023秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2 【分析】首先移项、合并同类项，再根据一元二次方程的条件即可解答． 【解答】解：由原方程得：（m﹣2）x2﹣4x+1＝0， ∵该方程是一元二次方程， ∴m﹣2≠0，解得m≠2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程成立的条件，掌握在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a≠0是解决本题的关键． 【变式2-3】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或 m≠2 D．m≠﹣2，且 m≠2 【分析】根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣4≠0， 解得：m≠﹣2且m≠2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0是解此题的关键． 【变式2-4】（2023秋•密云区期末）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，再求出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程， ∴k+3≠0， ∴k≠﹣3． 故答案为：k≠﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出k+3≠0是解此题的关键． 【变式2-5】（2023春•花山区校级期中）关于x的方程（a﹣1）2x2+ax+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 【分析】根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可． 【解答】解：根据一元一次方程的定义可得：（a﹣1）2≠0， ∴a≠1， 故答案为：a≠1． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）． 【变式2-6】（2023秋•墨玉县期中）若方程mx2+3x﹣4＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【解答】解：由方程mx2+3x﹣4＝x2是关于x的一元二次方程，得 m﹣1≠0． 解得m≠1 故答案为：m≠1． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式2-7】（2023春•淮北月考）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴a﹣1≠0，a+1≥0， 解得：a≥﹣1且a≠1． 故答案为：a≥﹣1且a≠1． 【点评】本题考查一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 题型三 由一元二次方程的定义求字母的值 【例题3】（2024春•贺州期末）已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣1或3 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于k的一元一次不等式及关于k的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：k＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【变式3-1】（2023秋•渭滨区期末）已知x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或﹣2 C．0 D．﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，解答即可． 【解答】解：∵x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2， ∴m＝±2． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 【变式3-2】（2024春•凤阳县期末）关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【分析】根据一元二次方程的定义得出a2﹣2＝2且a﹣2≠0，再求出a即可． 【解答】解：根据“关于x的方程是一元二次方程”得到：a2﹣2＝2且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a2﹣2＝2且a﹣2≠0是解此题的关键． 【变式3-3】（2023春•西湖区校级期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值 是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2，进一步求解即可． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2， ∴m＝2或m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【变式3-4】（2024春•重庆期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【解答】解：∵方程ax＝2是关于x的一元二次方程， ∴a2+1＝2，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 【变式3-5】（2023秋•沙依巴克区校级期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝　　． 【分析】再根据题意可得m≠0，m2﹣3m＝0，进而可得答案． 【解答】解：∵m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项， ∴m≠0，m2﹣3m＝0， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【变式3-6】（2023秋•南部县校级月考）已知关于x的方程（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题． 【解答】解：（1）∵（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0， ∴如果此方程是一元一次方程，则， 解得，m＝3， 即m＝3时，此方程是一元一次方程； （2））∵（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0， ∴如果此方程是一元二次方程，则（m+3）（m﹣3）≠0， 解得，m≠﹣3且m≠3， 即m≠﹣3且m≠3时，方程是一元二次方程． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 题型四 一元二次方程的一般形式 【例题4】（2024春•淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　） A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可． 【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3， x2﹣9x+3＝0， 所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【变式4-1】（2024春•通州区期末）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，3 B．0，2，﹣3 C．0，﹣2，﹣3 D．1，2，﹣3 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 【变式4-2】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 【变式4-3】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 【分析】首先利用平方差公式进行计算，再整理得到x2+2x﹣1＝0，然后再确定二次项、一次项系数和常数项． 【解答】解：方程（x+1）（1﹣x）＝2x整理为一般形式为x2+2x﹣1＝0， ∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1， 故答案为：1，2，﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【变式4-4】（2023春•上城区校级期中）把关于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是 　 ，其中常数项是 　 ． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：x（2x+1）＝3， 2x2+x＝3， 方程整理得：2x2+x﹣3＝0， ∴常数项为﹣3． 故答案为：2x2+x﹣3＝0，﹣3． 【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式4-5】（2023秋•花垣县月考）一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后，二次项的系数为 　 　． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1， 去括号得：8x2﹣10x﹣3＝5x2+1， 移项合并同类项得：3x2﹣10x﹣4＝0， 则它的二次项系数是3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键要把方程化成一般形式． 【变式4-6】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项： （1）x2＝3x+1； （2）9x2＝4； （3）4x（x+1）﹣x（x﹣2）＝2； （4）（3x﹣2）（x+1）＝8． 【分析】一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，常数c叫做常数项；先把所给的方程化成一般形式，据此分别找出其二次项系数、一次项系数和常数项，即可得到答案． 【解答】解：（1）方程x2＝3x+1移项，得x2﹣3x﹣1＝0， 其二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣1． （2）方程9x2＝4移项，得9x2﹣4＝0， 其二次项系数为9，一次项系数为0，常数项为﹣4． （3）方程4x（x+1）﹣x（x﹣2）＝2去括号，得4x2+4x﹣x2+2x＝2， 合并同类项，得3x2+6x＝2， 移项，得3x2+6x﹣2＝0， 故二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为﹣2． （4）方程（3x﹣2）（x+1）＝8去括号，得3x2+3x﹣2x﹣2＝8， 移项，得3x2+3x﹣2x﹣2﹣8＝0， 合并同类项，得3x2+x﹣10＝0， 故二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为﹣10． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 题型五 由一元二次方程的解求字母的值 【例题5】（2023•蚌埠二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值． 【解答】解：∵x＝1是方程的解， ∴1+1+2a＝0， ∴a＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【变式5-1】（2023秋•二道区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值 是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得：32﹣3﹣m＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得： 32﹣3﹣m＝0， 解得：m＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式5-2】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1 【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得， 2m+2+1﹣m2＝0， m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1， ∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0， ∴2m+2≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键． 【变式5-3】（2023春•鹿城区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值 是（　　） A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D． 【分析】将方程的根代入求解即可得到答案； 【解答】解：∵x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1， ∴12+1+a2﹣18＝0， 解得：a＝±4， 故选：C． 【点评】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解． 【变式5-4】（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 【分析】先把x＝0代入一元二次方程得到|a|﹣1＝0，解方程得到a＝1或a＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0， 解得a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了非负数的性质和一元二次方程的定义． 【变式5-5】（2023•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案． 【解答】解：由题意得： 把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0， 得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0， 解得：k＝±3， ∵k﹣3≠0， ∴k≠3， ∴k＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键． 【变式5-6】（2023•博罗县校级开学）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值． 【分析】将x＝2代入x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0，求出m的值即可． 【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根， ∴22﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0， ∴m2﹣m＝0， ∴m＝0或m＝1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与一元二次方程的关系是解题的关键． 题型六 由一元二次方程的解求代数式的值 【例题6】（2024•高州市一模）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式a2﹣2a的值 为（　　） A．4 B．8 C． D． 【分析】依题意得a2﹣2a﹣4＝0，进而可求解． 【解答】解：依题意得：a2﹣2a﹣4＝0， 即：a2﹣2a＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可. 【变式6-1】（2023•枣庄）若x＝3是关x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　． 【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2， 则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019． 故答案为：2019． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式6-2】（2023•定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 　 　． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2m2﹣3m＝﹣1，再把2m2﹣3m＝﹣1整体代入所求式子中求解即可． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m+1＝0， ∴2m2﹣3m＝﹣1， ∴6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝﹣1×3+2023＝2020， 故答案为：2020． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【变式6-3】（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m1的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先根据一元二次解的定义得到m2＝2m+1，然后利用降次的方法化简计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根， ∴m2﹣2m﹣1＝0， 即m2＝2m+1， ∴m2（m﹣3）+2m1 ＝（2m+1）（m﹣3）+2m1 ＝2m2﹣5m4 ＝2（2m+1）﹣3m2 ＝m ＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式6-4】（2024•海淀区校级模拟）已知m是方程x2﹣4x+1＝0的根，求代数式的值． 【分析】先把x＝m代入方程方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m＝﹣1，然后把所求分式进行化简，在把m2﹣4m＝﹣1 代入求值即可． 【解答】解：把x＝m代入方程方程x2﹣4x+1＝0得： m2﹣4m＝﹣1， ∴ ＝﹣2， ∴代数式的值为﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和分式的乘除法则． 【变式6-5】（2024•南山区校级三模）已知，． （1）化简A； （2）若a是方程x2+2x＝8的一个根，求A的值． 【分析】（1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）把a代入方程，得到a2+2a＝8，整体代入（1）中结果进行求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）∵a是方程x2+2x＝8的一个根， ∴a2+2a＝8， ∴． 【点评】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解，关键是同分的应用． 【变式6-6】（2023春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4040a﹣3的值； （2）代数式a2﹣2019a的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解； （2）可化简得原式＝a1，然后通分后再次代入后化简即可． 【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根， ∴a2＝2020a﹣1， ∴a2＝2020a﹣1， ∴2a2﹣4040a﹣3 ＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3 ＝4040a﹣2﹣4040a﹣3 ＝﹣5； （2）原式＝2020a﹣1﹣2019a ＝a1 1 1 ＝2020﹣1 ＝2019． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 题型七 已知一元二次方程的根求另一方程的根 【例题7】（2024春•衢州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a+b的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2025 C．2023 D．2025 【分析】利用一元二次方程解的定义得到a﹣b＝1，然后把2024﹣a+b变形为2024﹣（a﹣b），再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a﹣b﹣1＝0， 所以a﹣b＝1， 所以2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣1＝2023． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定义代入原方程中，得到关于字母参数的方程，再来求另一方程的根. 【变式7-1】（2024春•利辛县期末）若a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【分析】由ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，可得：当x＝1时，有a+b+c＝0．故问题可求． 【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0， ∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0； 综上可知，方程必有一根为1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解．此类题目的解法是常常将1或﹣1或0代入方程，来推理判断方程系数的关系． 【变式7-2】关于x的一元二次方程a（b﹣c）x2+b（c﹣a）x+c（a﹣b）＝0必有一个根为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2 【分析】根据方程的解的定义，将选项中x的值一一代入进行验证即可． 【解答】解：A、把x＝0代入得到：c（a﹣b）＝0，若c≠0，a≠b时，该等式不成立，即x＝0不一定是原方程的解，故本选项错误； B、把x＝1代入得到：左边＝a（b﹣c）+b（c﹣a）+c（a﹣b）＝0＝右边，即x＝1一定是原方程的解，故本选项正确； C、把x＝﹣1代入得到：a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）＝2b（a﹣c）＝0，若b≠0，a≠c时，该等式不成立，即x＝﹣1不一定是原方程的解，故本选项错误； D、把x＝2代入得到：4a（b﹣c）+2b（c﹣a）+c（a﹣b）＝2ab﹣3ac+bc＝0，若a＝b＝c＝0时，该等式成立，即x＝2不一定是原方程的解，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【变式7-3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式7-4】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt﹣3＝0，利用at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b即a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt﹣3＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一根为x＝2021， 所以at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021， 则x﹣1＝2021， 解得x＝2022， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【变式7-5】（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为 　 　． 【分析】把a（x﹣1）2+bx﹣3＝b化为a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，再结合题意得到x﹣1＝5，解出即可． 【解答】解：∵a（x﹣1）2+bx﹣3＝b， ∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0． 令x﹣1＝t，则at2+bt﹣3＝0， ∵方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5， ∴方程at2+bt﹣3＝0有一根为t＝5， ∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0有一根为x﹣1＝5， ∴x﹣1＝5， ∴x＝6． 故答案为：x＝6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 【变式7-6】（2023秋•南安市期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（　　） A．±2020 B． C．﹣2020 D．± 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：∵a≠0，c≠0，a+c＝0， ∴1， ∴x2x0，x2x+1＝0， ∴x2x﹣1＝0，x2x﹣1＝0， ∵x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴x＝2020是方程x2x﹣1＝0的一个根， ∴202022020﹣1＝0， ∴（﹣2020）2（﹣2020）﹣1＝0， ∴x＝﹣2020是方程x2x﹣1＝0的一个根， 即x＝﹣2020是方程cx2+bx+a＝0的一个根， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型． 【变式7-7】（2023秋•丰顺县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【分析】（1）把x＝1代入方程可得a、b、c之间的关系； （2）把x＝﹣1代入方程可得a、b、c之间的关系； （3）把x＝0代入方程可得a、b、c之间的关系． 【解答】解：（1）将x＝1代入原方程得：a×1+b×1+c＝0， 即a+b+c＝0； （2）将x＝﹣1代入原方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0， 即a﹣b+c＝0； （3）将x＝0代入原方程可得：a×0+b×0+c＝0， ∴c＝0． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0；x＝0时，c＝0． 题型八 根据实际问题列简单的一元二次方程 【例题8】（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【变式8-1】（2023•襄州区模拟）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是 ． 【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设参加聚会的有x名学生， 根据题意得： x（x﹣1）＝110， 故答案为：x（x﹣1）＝110． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】（2023•长沙一模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程． 【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得： （x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式8-3】（2023•喀什地区三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 【分析】设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方程即可． 【解答】解：设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据题意得： x（x﹣30）＝1000，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式． 【变式8-4】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-5】（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） ​ A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵小道的宽为xm， ∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形． 根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-6】（2023•鲤城区模拟）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为2（1+x）亿元，第三天票房为2（1+x）2亿元，结合三天累计票房为6.62亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x， ∴该电影上映的第二天票房为2（1+x）亿元，第三天票房为2（1+x）2亿元． 根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$