第12讲 平行线分线段成比例（2大考点4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第12讲 平行线分线段成比例 课程标准 学习目标 ③掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 1、拿握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、掌握基本定理的推导过程并能以之解题． 知识点一：平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 题型01 由平行判断成比例的线段 1．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图所示，若，则．依据是 ． 题型02 由平行线分线段成比例求线段比值 6．如图，已知直线，直线m分别交直线于点直线n分别交直线于点，若，，则的值（）    A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 7．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 8．如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 9．如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 题型03 由平行线分线段成比例求线段长 11．如图，已知，，，，则的长为（    ） A． B．7 C．8 D． 12．如图，在中，，若，，则的长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 13．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 14．已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 16．如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 题型04 平行线分线段成比例的应用 17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．10 18．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 19．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 20．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 23．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 25．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 26．在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 27．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 28．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 29．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 30．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    31．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    32．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 33．已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ．    34．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 35．如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，． (1)求证：． (2)延长交于点G，当，时，求的值． 36．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 37．如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， (1)求证：． (2)当时，求的长． 38．如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱、垂直于立柱的横杆以及支撑杆组成，其中m，m，m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆、、架线杆组成，连接点、、在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过． (1)求证：； (2)若架线杆到地面的距离为5 m，求连接点到点的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：，）． 39．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的平行线． (2)在图②中，在边上找一点，使． (3)在图③中，找一点，使点和点关于对称． 40．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 试卷第2页，共37页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平行线分线段成比例 课程标准 学习目标 ③掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 1、拿握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、掌握基本定理的推导过程并能以之解题． 知识点一：平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 题型01 由平行判断成比例的线段 1．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 2．如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解． 【详解】解：依题意，的对应线段是， 故选：C． 3．如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴，错误，不符合题意； B、∵， ∴，错误，不符合题意； C、∵， ∴，正确，符合题意； D、∵， ∴，故Ｄ错误，不符合题意； 故选C． 5．如图所示，若，则．依据是 ． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 题型02 由平行线分线段成比例求线段比值 6．如图，已知直线，直线m分别交直线于点直线n分别交直线于点，若，，则的值（）    A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作分别交、于、，如图，易得，利用平行线分线段成比例得到，所以，于是可判断． 【详解】解：作分别交、于、，如图：    可得四边形、四边形为平行四边形， ， 直线， ，即， ． 故选A． 7．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 9．如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型03 由平行线分线段成比例求线段长 11．如图，已知，，，，则的长为（    ） A． B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，即可求出结果． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，在中，，若，，则的长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理等知识点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 13．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ， ． 故选：C． 14．已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 15．如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，由得，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 16．如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 题型04 平行线分线段成比例的应用 17．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、， 由题意可知，， ， ， ， ， ， 故选：D． 18．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所藏，所得的对应线段成比例． 故选：C． 19．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 20．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ， ， ， ． 故选：C 21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算公式是解题的关键． （1）根据所给图形可知是直角三角形，分别求出和的长即可； （2）根据题意，画出旋转后的图形即可； （3）找出的中点即可解决问题； （4）将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，即，再根据平行线分线段成比例计算即可求解； 【详解】（1）由勾股定理可得： ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． （2） 即为所求作的三角形． （3） 点即为所求作的点． （4）， ， 由勾股定理可得， ， ， ． 点即为所求作的点． 23．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 24．如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定． 设与相较于点，则，，得到,则垂直平分，得到即可解题． 【详解】如图,设与相较于点，    ∵点是的中点,, ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴, ∴点的横坐标为. 故选C. 25．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 26．在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识，先由勾股定理求出，再由平行线分线段成比例和直角三角形的性质求出，，即可得到答案． 【详解】解：在中，∵， ∴， 由作图可知，垂直平分线段， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴的周长++2＝6， 故选：B． 27．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 28．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 29．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 30．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    【答案】 【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于，   ，， ， ， ， 是边上的中线，是等边三角形， ， ， ， ， 和关于对称， 连接交于，连接， 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 32．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 【答案】3.24 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴，而，， ∴， ∴， 经检验符合题意； ∴眼梢到鼻翼的距离约为， 故答案为 33．已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【答案】 / 【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解； （2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解： (1)在正方形 中，， ∵， ， ， ， ， ， ； (2)作交于点，则， ，， ， ，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； 故答案为：、．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 34．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，． (1)求证：． (2)延长交于点G，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线分线段定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，然后根据证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到，根据平行线等分线段定理可得，再根据可得，最后代入比例式即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 36．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证； （2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    37．如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， (1)求证：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，再证明，根据平行线的判定即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例性质可得，求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是边上的高线， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 是边上的高线， ． 38．如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱、垂直于立柱的横杆以及支撑杆组成，其中m，m，m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆、、架线杆组成，连接点、、在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过． (1)求证：； (2)若架线杆到地面的距离为5 m，求连接点到点的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：，）． 【答案】(1)详见解析 (2)连接点E到点A的距离约为 0.61m 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得到，根据，得到，即可得出结果； （2）延长交于点H，作，垂足为I，求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出的长，证明四边形为矩形，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形为平行四边形 ∴． ∵， ∴． ∴． （2）延长交于点H，作，垂足为I，则，且． ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形 ∴ ∴ ∴． 答∶连接点E到点A的距离约为 0.61m． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 39．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点作的平行线． (2)在图②中，在边上找一点，使． (3)在图③中，找一点，使点和点关于对称． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取网格点E，即有，，可得四边形是平行四边形，问题得解； （2）过点C作的垂线，交于点F，根据是等腰三角形，即可知点F满足要求； （3）结合（1）（2）的结果，先点C作的垂线，再在下方作，结合平行线分线段成比例，使得点C到的距离与直线与的距离相等，问题即可得解． 【详解】（1）作图如下： 即为所作； （2）作图如下： 点即为所作； （3）作图如下： 点G即为所作． 证明：先证明，再结合平行线分线段成比例可证明点G、点C到直线的距离相等即可． 【点睛】本题是一道作图题，涉及平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，灵活运用网格图，是解答本题的关键． 40．定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 试卷第2页，共37页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$