精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

高一数学5月月考卷 一、单选题（共40分，每个5分.） 1. 若集合,集合,且,则（ ） A B. C. D. 2. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 3. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，、，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，且，则（ ） A B. C. D. 2 7. 如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ） A 2 B. C. 1 D. 8. 一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为6的正三角形，那么它的原图形中，顶点对应的点B到x轴的距离是（ ） A. B. C. 6 D. 二、多选题（共18分，每个6分.） 9. 设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则实数a的值为2 B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件 D. 若，则实数a的值为2 10. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 函数在上有2个零点 三、填空题（共15分，每个15分.） 12. 已知异面直线所成角的大小为，直线且，则______. 13. 在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____________. 14. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 四、解答题（共77分.） 15. 如图，四边形中，，，，，， （1）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； （2）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 17. 某企业2023年9~11月份生产产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 （1）根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； （2）问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 18. 如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？ 19. 已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学5月月考卷 一、单选题（共40分，每个5分.） 1. 若集合,集合,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 2. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A:取则，故A错， 对于B:若，则，故B错误， 对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确， 对于D:若，则，，故D错误. 故选：C 3. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求. 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可. 【详解】， ， ， ． 故选:. 【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题． 5. 已知，，、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由、的范围求出的范围，由题意，利用平方关系求出和，由两角和与差的余弦公式求出的值即可. 详解】解：、，， ， ， . . . 故选：A 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 6. 已知点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由知与的夹角为，所以，由平行向量的坐标表示求解即可. 【详解】由得与的夹角为． ，， 由得，故． 当时，，与的夹角为； 当时，，与的夹角为，舍去． 故选：D． 7. 如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 8. 一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为6的正三角形，那么它的原图形中，顶点对应的点B到x轴的距离是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：B. 二、多选题（共18分，每个6分.） 9. 设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则实数a的值为2 B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件 D. 若，则实数a的值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】 ∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确 选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误 选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确 选项D：时，有，即，故正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围 10. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，在正方体中， 对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确； 对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确； 对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误； 对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 函数在上有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象和性质依次判断选项即可. 【详解】易知的最小正周期为，所以也是的周期，则，故A正确； 令，解得：，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时，，则函数在上先增后减，故错误； 令，故，在一直角坐标系中分别作出和的大致图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数在上有2个零点，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（共15分，每个15分.） 12. 已知异面直线所成角的大小为，直线且，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据异面直线所成角为锐角或直角，且由等角定理可知与异面直线所成角相等或是其补角，从而求解. 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成角或补角， 所以或. 故答案为：或. 13. 在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造平行线，得到两条异面直线所成的角，解三角形得到所求角的余弦. 【详解】如图： 取的中点，连接，，因为，故即为异面直线与所成的角. 在中，，， 由余弦定理：. 故答案为： 14. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥和铁球的体积相等求出圆锥的高，再求出母线长即可. 【详解】设圆锥的高为，依题意，，解得（cm）， 所以圆锥的母线长（cm）. 故答案为： 四、解答题（共77分.） 15. 如图，四边形中，，，，，， （1）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； （2）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，求出各边长度，求出四边形绕直线旋转一周形成圆台和三角形绕直线旋转一周形成圆锥的体积，相减即可； （2）求出以为半径的圆的面积，以为母线的圆台的侧面积和以为母线的圆锥的侧面积，相加后得到答案. 【小问1详解】 作，，E，F为垂足， 因为，所以， 因为，所以，， 故， 又，，故， ， 由勾股定理得， 由四边形绕直线旋转一周形成圆台， 且， 由三角形绕直线旋转一周形成圆锥， 且 所以将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积为； 【小问2详解】 四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积为， 以为母线的圆台的侧面积， 以为母线的圆锥的侧面积， 所以该几何体的表面积为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 17. 某企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 （1）根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； （2）问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 【答案】（1）②， （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式； （2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 函数及（且）均为单调函数， 根据表中数据可得与（且）均不符合题意. 取②， 将，，代入函数解析式， 则， 解得，所以. 【小问2详解】 根据题意得，即， 即， 解得 故该企业12月份生产的产品产量（单位：千件）应控制在内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）. 18. 如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】分别将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，依次计算,再取其最小值即得. 【详解】 依题意，长方体的表面有三种展开形式： 如图1，把矩形绕着展开到，与共面时，， 如图2，把矩形绕着展开到，与共面时，， 如图3，把矩形绕着展开到，与共面时，， 因，故小虫爬行的最短路程是. 19. 已知向量，，记函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）若为偶函数，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域； （2）先根据为偶函数求得，再求的最小值. 【详解】解：（1） 则∵， ∴的取值范围为. （2）因为为偶函数， 所以 因此当时. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$