精品解析：天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

津衡中学2023-2024学年度数学学科7月调考 数学试卷 检测时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页. 其中第I卷共60分，第Ⅱ卷共90分，满分共150分. 命题人：史金凤 审核人：高二数学组 第I卷（客观题共60分） 注意事项： 1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息. 2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置. 3.清将主观题答案写在答题卡上. 一､单选题（每小题5分，共60分） 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 2. 已知空间向量，且共线，则（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可. 【详解】因为共线，则存在实数，使得，则，解得. 故选：B. 3. 已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共面定理即可. 【详解】若,,共面,则， 所以，解得. 故选：A 4. 数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】把给定数据由小到大排列，利用第60百分位数计算即得. 【详解】这组数据从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，又， 所以这组数据的第60百分位数为. 故选：B 5. 下列说法正确的是（ ） A. 表示过点的所有直线方程 B. 直线与y轴交于一点，其中截距 C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D. 方程表示过任意两点，的直线 【答案】D 【解析】 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解. 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确； 对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负，所以B不正确； 对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确； 对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确. 故选：D. 6. 已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出投影向量的模长，利用勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为， 所以点到直线l的距离是. 故点到直线l的距离是. 故选：D 7. 已知，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在上的投影向量为：， 故选：C 8. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， ， . 故选：B 9. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 11. 正六边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由正六边形的性质可得，则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为，则，，，， 所以，，， 设， 则， 所以，解得， 所以． 故选：B． 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ） A. 16 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得该圆台轴截面的内切圆即为其轴截面所在正三角形的内切圆，从而求得圆台的内切球半径为，再结合正方体的外接球半径与棱长的关系即可求得. 【详解】设圆台的高为，母线长为，正方体的棱长为. 由题意可得，解得，则， 易得圆台的母线与下底面所成角为，所以可以将该圆台的轴截面补形为边长为的正三角形. 设该正三角形的内切圆半径为，则根据等面积法可得，解得, 又，该内切圆也为此圆台轴截面的内切圆， 圆台的内切球半径为. 该正方体可以在圆台内部任意转动，，解得， 所以当正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，理解正方体在圆台内部可以任意转动，即正方体在圆台的内切球内，从而得解. 第Ⅱ卷（（主观题共90分） 二､填空题（每小题5分，共30分） 13. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得参数范围. 【详解】由复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故答案为：. 14. 如果直线：与直线：垂直，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为，由此求得. 【详解】直线：的斜率为， 直线：的斜率为， 因为，所以，解得. 故答案为：2. 15. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用概率加法公式直接求解即可. 【详解】因为一次考试中，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6， 所以他的数学和物理至少有一门超过90的概率为. 故答案为：. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径_________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出角C，再由正弦定理求外接圆直径即可. 【详解】由, 所以,即, 由,所以, 所以,所以. 故答案为：. 18. 平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【详解】设，，， 设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 三､解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分） 19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值； （2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 且，可得， 且，可知，可得. 【小问2详解】 由（1）可知：，，则， 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 20. 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 【答案】（1）0.1； （2）7.4小时； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得. （3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，所以. 【小问2详解】 每天玩网络游戏的平均时间（小时）. 【小问3详解】 每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为， 则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为， 这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点， 玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点， 所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 21. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求的长度； （2）求点D到平面的距离. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. 【小问2详解】 设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 22. 已知直线l：． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 【答案】（1）证明：直线l的方程可化为， 令，解得， 所以无论k取何值，直线总经过定点． （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求得结论， （2）先求出两点的坐标，再表示出的面积，然后利用基本不等式可求出S的最小值，从而可求出直线l的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，再由l的方程，得，． 依题意得，解得． 因为， “=”成立的条件是且，即， 所以，此时直线的方程为． 23. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点为E，连接，由题意可知， 即四边形为平行四边形，故，而， 故； 又平面ABCD，故以A为坐标原点，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 故，则； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为E，连接，说明，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）求出向量，即可根据空间角的向量求法，求得答案； （3）设，根据平面与平面所成角为45°，结合空间角的向量求法，求出，再根据二面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由题可设，则， 设平面的一个法向量为， ， 由，得， 取，则， 平面的法向量可取为， 平面与平面所成角为45°，则， 解得，则，， , 设平面的一个法向量为， 由，得， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 津衡中学2023-2024学年度数学学科7月调考 数学试卷 检测时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页. 其中第I卷共60分，第Ⅱ卷共90分，满分共150分. 命题人：史金凤 审核人：高二数学组 第I卷（客观题共60分） 注意事项： 1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息. 2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置. 3.清将主观题答案写在答题卡上. 一､单选题（每小题5分，共60分） 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知空间向量，且共线，则（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 3. 已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或0 4. 数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 5. 下列说法正确的是（ ） A. 表示过点的所有直线方程 B. 直线与y轴交于一点，其中截距 C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 D. 方程表示过任意两点，的直线 6. 已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是 A. 2 B. C. D. 7. 已知，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 正六边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ） A. 16 B. C. D. 8 第Ⅱ卷（（主观题共90分） 二､填空题（每小题5分，共30分） 13. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是____________． 14. 如果直线：与直线：垂直，则______ 15. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 16. 一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是_______． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径_________． 18. 平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 三､解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分） 19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 20. 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 21. 如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. （1）求的长度； （2）求点D到平面的距离. 22. 已知直线l：． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 23. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $