21.2 解一元二次方程21.2.3因式分解法（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.3因式分解法 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是 ．知识点1 因式分解法解一元二次方程的依据 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）分解因式的方法： （1）提公因式法：am＋bm＋cm＝ ； （2）公式法：＝ ，＝ ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：提公因式，得 ． 所以 或 ． 解得 ， ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：运用完全平方公式因式分解，得 ． 所以 ． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：运用平方差公式因式分解，得 ． 所以 或 ． 解得 ， ． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或 ．如：若（x＋2）（x－3）＝0，那么x＋2＝0或者 ．这就是说，求一元二次方程（x＋2）（x－3）＝0的解，就相当于求一次方程x＋2＝0或x－3＝0的解． 说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立．“且”是“二者同时成立”的意思． 7．（23-24九年级上·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　)知识点2 用因式分解法解一元二次方程 A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·云南昭通·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·河南·阶段练习）解方程的最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 10．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）乐乐在解方程时，解得，则他漏掉的一个根是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A．1或3 B．-1或-3 C．1或-1 D．3或-3 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若与的值互为相反数，则的值是 ． 14．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得．……第一步 方程两边同时除以，得．……第二步 解得．……第三步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；错误原因是 ； (2)写出正确的解答过程． 15．（23-24九年级上·陕西西安·期中）张林用因式分解法解一元二次方程时，他的做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） (1)张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你用张林的方法完成这个题的解题过程． 16．（22-23九年级上·福建莆田·期末）下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程， 等式左边去括号，得，① 移项、合并同类项，得，② 等式左边分解因式，得，③ 解得，．④ 以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 17．用因式分解法解下列一元二次方程： (1)； (2) (3)； (4)． (5)； (6)． (7) (8) 18．（18-19九年级上·全国·期中）填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、 、 、 ．知识点3 用适当的方法解一元二次方程 19．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）解方程最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 20．（18-19九年级上·全国·课后作业）认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： （1）4x2+16x=5，应选用 法； （2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用 法； （3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用 法． 21．（23-24九年级上·新疆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8)． 22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 23．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形第三边的长是（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 24．（22-23九年级上·甘肃白银·期中）若实数x，y满足，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．或2 25．（21-22九年级上·新疆·阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（    ） A．或5 B．5 C． D．3或 26．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 27．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 28．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题： 解方程：． 解：方程左边分解因式， 得， 解得，，． 解方程：． 29．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 30．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.3因式分解法 一、因式分解法的依据知识点1 因式分解法解一元二次方程的依据 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】设另一个因式为，则，根据题意得出，，求出p、a即可． 【详解】解：设另一个因式为， 则， ∴，， ∴，， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，能得出和是解题的关键． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）分解因式的方法： （1）提公因式法：am＋bm＋cm＝ ； （2）公式法：＝ ，＝ ． 【答案】 m（a＋b＋c） （a＋b）（a－b） 【解析】略 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：提公因式，得 ． 所以 或 ． 解得 ， ． 【答案】 0 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 提公因式，得． 或． 解得，． 故答案为：，，，0，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：运用完全平方公式因式分解，得 ． 所以 ． 【答案】 / 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：运用完全平方公式因式分解，得， 所以， 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）解方程：． 解：运用平方差公式因式分解，得 ． 所以 或 ． 解得 ， ． 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 运用平方差公式因式分解，得． 或． 解得，． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或 ．如：若（x＋2）（x－3）＝0，那么x＋2＝0或者 ．这就是说，求一元二次方程（x＋2）（x－3）＝0的解，就相当于求一次方程x＋2＝0或x－3＝0的解． 说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立．“且”是“二者同时成立”的意思． 【答案】 b＝0 x－3＝0 【解析】略 7．（23-24九年级上·河南新乡·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是(　　)知识点2 用因式分解法解一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可． 【详解】解：A. 适合用直接开平方法，符合题意； B. ，适合用因式分解法，符合题意； C. 适合用公式法，符合题意；     D. 适合用配方法法，符合题意； 故选：B． 8．（23-24九年级上·云南昭通·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解： 或 解得， 故选B． 9．（22-23九年级上·河南·阶段练习）解方程的最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程的方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵方程的两边都有因式3x-1， ∴把方程右边的2(3x-2)移到方程的左边，可以提公因式进行因式分解， ∴解方程的最适当的方法是分解因式法， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故不符合题意； C、由方程解得，故符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 11．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）乐乐在解方程时，解得，则他漏掉的一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原方程变形为一般形式，利用因式分解法解方程，即可得出结论． 【详解】解：原方程可变形为， 即， 解得：，， 故选：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 12．（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）若代数式和的值互为相反数，则x的值为（    ） A．1或3 B．-1或-3 C．1或-1 D．3或-3 【答案】A 【分析】根据相反数的定义即可得出关于x的一元二次方程，利用分解因式法解方程即可得出结论． 【详解】解：∵代数式x（x-1）和3（1-x）的值互为相反数， ∴x（x-1）+3（1-x）=0， 即（x-3）（x-1）=0， x-3=0或x-1=0， 解得x=3或x=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义以及分解因式法解一元二次方程，利用十字相乘法分解因式将方程边形为（x-3）（x-1）=0是解题的关键． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若与的值互为相反数，则的值是 ． 【答案】1 【分析】由与的值互为相反数，可得，再解方程即可． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：1 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的利用相反数的含义建立方程求解是解本题的关键． 14．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得．……第一步 方程两边同时除以，得．……第二步 解得．……第三步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；错误原因是 ； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，错误运用等式的性质； (2)过程见解析 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程： （1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误； （2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是错误运用等式的性质； 故答案为：二，错误运用等式的性质； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 15．（23-24九年级上·陕西西安·期中）张林用因式分解法解一元二次方程时，他的做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） (1)张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你用张林的方法完成这个题的解题过程． 【答案】(1)三 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． （1）两边除以时，要考虑即可判断； （2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【详解】（1）解：张林的解法是不正确的，他从第三步开始出现了错误； 故答案为：三； （2）， ， ， ， 即或， 16．（22-23九年级上·福建莆田·期末）下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程， 等式左边去括号，得，① 移项、合并同类项，得，② 等式左边分解因式，得，③ 解得，．④ 以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 【答案】③ 【分析】将原式去括号、移项合并、提公因式然后求解，对比发现错误步骤即可． 【详解】解： 等式左边去括号，得， 移项、合并同类项，得， 提公因式，得， 解得，． ③开始出现错误， 故答案为：③ 【点睛】本题考查了解一元二次方程；掌握解方程的步骤正确计算是解题的关键． 17．用因式分解法解下列一元二次方程： (1)； (2) (3)； (4)． (5)； (6)． (7) (8) 【答案】(1)， (2) ， (3) (4) (5) ，； (6)或 (7)或 (8)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和直接开平方方成为解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：移项，得 则，即， ∴，， 解得，． （3）解：， ， ， ∴； （4）解：， ， 或 ∴ （5）， ， ， ， ，， ，； （6）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （7）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （8）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或． 18．（18-19九年级上·全国·期中）填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、 、 、 ．知识点3 用适当的方法解一元二次方程 【答案】 配方法 公式法 因式分解法 【分析】根据解一元二次方程的方法有四种，①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法填空即可． 【详解】解一元二次方程的方法有四种，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 故答案填配方法、公式法、因式分解法. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程的方法. 19．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）解方程最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 【答案】D 【分析】方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适． 【详解】解： 可化为： 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键． 20．（18-19九年级上·全国·课后作业）认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： （1）4x2+16x=5，应选用 法； （2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用 法； （3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用 法． 【答案】 配方 因式分解 公式 【详解】（1）原方程可用配方法配成完全平方式来求解， 即4x2+16x=5 (x+2)2= x=﹣2± （2）有公因数可以提出，所以用因式分解法来求解； 即2(x+2)(x﹣1)=(x+2)(x+4) (x+2)(x﹣6)=0 x1=﹣2，x2=6 （3）不具备配方和因式分解的特点，用求根公式来求解， △＝9+24=33， x＝ 故答案为配方；因式分解；公式． 21．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】（1）解： ， ， ， 或， ， （2）解： ， ， 或， ， （3）解： ， ， 或， ， （4）解： ， 或， ， （5）解： ； （6）解： 或 ； （7）解： 或 ； （8）解： 或 ． 22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 23．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形第三边的长是（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3和4 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程、三角形三边的关系，解一元二次方程是关键．但要注意验证方程的每个解与已知的两边长是否能构成三角形，否则容易出错．先利用因式分解法解方程得到，，然后利用三角形三边的关系确定三角形第三边长，再计算三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， ∵第三边为3时，，不能构成三角形， ∴舍去； ∴三角形第三边长为4． 故选：B． 24．（22-23九年级上·甘肃白银·期中）若实数x，y满足，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出的值． 【详解】解：设：，则变为， ∴，则， 解得：，， 即的值为或1， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键． 25．（21-22九年级上·新疆·阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（    ） A．或5 B．5 C． D．3或 【答案】B 【分析】设，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到的可能取值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【详解】解：设， 则原方程变为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， ∴或， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程有实数根，符合题意， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根，不符合题意， ∴的值为5， 故选：B． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 26．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（　　） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：B． 27．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 28．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题： 解方程：． 解：方程左边分解因式， 得， 解得，，． 解方程：． 【答案】，， 【分析】把方程的左边分解因式，可得，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 解得：，，． 【点睛】本题考查了解高次方程和解一元二次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键． 29．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 30．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$