21.2 解一元二次方程21.2.1第一课时直接开方法（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.1 第一课时 直接开方法 1．（23-24八年级下·广西梧州·期末）一元二次方程的根是（    ）知识点1 解形如的一元二次方程 A． B． C．， D．， 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．（19-20九年级上·山西·阶段练习）张老师出示方程 x2－4=0，四位同学给出了以下答案：小丽：x=2  ；子航：x=﹣2；一帆：x1=2，x2=﹣2 ；萱萱：x =±4．你认为谁的答案正确？你的选择是（    ） A．小丽 B．子航 C．一帆 D．萱萱 5．用直接开方法解下列方程： (1) (2) 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　）知识点2 解形如的一元二次方程 A． B． C． D． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（19-20九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程(x+3)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元次方程是x+3=4，则另一个一元一次方程是（ ） A．x-3=-4 B．x-3=4 C．x+3=4 D．x+3=-4 10．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 11．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程的解是 ． 12．用直接开方法解方程： (1)； (2)． 14．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 15．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 16．（22-23九年级上·全国·单元测试）小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为 ． 17．（19-20七年级上·江苏南京·阶段练习）有一运算程序如下：输出若输出的值是，则输入的值可以是 ． 18．（21-22八年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 19．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则 ． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似． 例如：解方程x2＝﹣1， 解得：x1＝i，x2＝﹣i． 同样我们也可以化简2i； 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　； (2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1 (3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.1 第一课时 直接开方法 1．（23-24八年级下·广西梧州·期末）一元二次方程的根是（    ）知识点1 解形如的一元二次方程 A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法求解一元二次方程是解题的关键． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 2．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴， ∴，， ∴这个方程的另一个根是， 故选：． 4．（19-20九年级上·山西·阶段练习）张老师出示方程 x2－4=0，四位同学给出了以下答案：小丽：x=2  ；子航：x=﹣2；一帆：x1=2，x2=﹣2 ；萱萱：x =±4．你认为谁的答案正确？你的选择是（    ） A．小丽 B．子航 C．一帆 D．萱萱 【答案】C 【分析】直接解出一元二次方程即可解答. 【详解】移项：x2=4， 解得：x=±2， 故选C. 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则. 5．用直接开方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，;，； (2)，； 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，先移项再系数化1，最后开方，即可作答． （2）利用配方法解方程，先移项再配方，最后开方，即可作答； 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】（1）由，得， 两边直接开平方，得 ∴原方程的解是，． （2）解： ，； 7．（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　）知识点2 解形如的一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 方程有实数根， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键． 9．（19-20九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程(x+3)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元次方程是x+3=4，则另一个一元一次方程是（ ） A．x-3=-4 B．x-3=4 C．x+3=4 D．x+3=-4 【答案】D 【分析】分析题意，一元二次方程(x+3)2=16可转化为两个一元一次方程，根据一元二次方程的特点，可采用直接开平方法解一元二次方程，就可得出答案. 【详解】解：（x+3）2=16 方程两边同时开平方，得 x+3=±4 ∴另一个一元一次方程是x+3=-4 故答案为D. 【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是要能用直接开平方法解一元二次方程. 10．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以2得：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 14．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 【答案】 ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ， 【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解． 【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②， 原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数， 正确的解答过程为：， ， ，． 故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键． 15．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 16．（22-23九年级上·全国·单元测试）小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为 ． 【答案】x-4=-（5-2x） 【分析】根据转化思想、直接开平方法解答． 【详解】解：开平方，得x-4=±（5-2x）， ∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x）， ∴他漏掉的另一个方程为x-4=-（5-2x）， 故答案为：x-4=-（5-2x）． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 17．（19-20七年级上·江苏南京·阶段练习）有一运算程序如下：输出若输出的值是，则输入的值可以是 ． 【答案】或 【分析】本题首先假设输入值为x，继而按照程序图列一元二次方程求解即可． 【详解】设输入值为， 由已知得：， 化简得：，， 求解得：或． 故输入值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查程序图与一元二次方程的综合，解题核心在于理清题意，按照程序图正确列式，其次解方程时注意计算仔细． 18．（21-22八年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 【答案】4 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与2，则有，然后两边平方得到=4． 【详解】由得，解得，可知两根互为相反数． ∵一元二次方程的两个根分别是和， ∴，解得， ∴一元二次方程的两个根分别是与2， ∴， ∴=4． 【点睛】本题考查直接开方法解一元二次方程方程，正数的平方根互为相反数等知识，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． 19．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程的求解及分类讨论的思想方法是解题关键．由题意分三种情况讨论：，，，再由定义列方程求解即可； 【详解】解：， 当即时，， ， ， 或（舍去）， 当即时，， ， ， ， （舍去）或， 当即时，，此时不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似． 例如：解方程x2＝﹣1， 解得：x1＝i，x2＝﹣i． 同样我们也可以化简2i； 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　； (2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1 (3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0 【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1 (2)x1＝1+i，x2＝1﹣i (3)x1＝2+2i，x2＝2﹣2i 【分析】（1）直接根据i2＝﹣1计算即可； （2）把右边的-1写成i2求解即可； （3）利用配方法，结合i2＝﹣1求解. 【详解】（1）解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1； 故答案为﹣i，1，﹣1，1； （2）解：∵（x﹣1）2＝﹣1， ∴（x﹣1）2＝i2， ∴x﹣1＝±i， ∴x1＝1+i，x2＝1﹣i． （3）解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2， ∴x﹣2＝±2i, 解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i． 【点睛】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，读懂材料及正确解一元二次方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$