21.2 解一元二次方程21.2.1第二课时配方法（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.1第二课时 配方法 知识点1 配方 1．填写适当的数使下式成立. ①x2+6x+ =(x+3)2 ②x2－ x+1=(x－1)2 ③x2+4x+ =(x+ )2 2．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）在下列空白处填上适当的数或式子，使等式成立． ① （x ）2； ② （y ）2； ③ （x ）2． 3．用适当的数填空： （1）x2-3x+ =（x- ）2 （2）ax2+bx+ =a（x+ ）2 4．用适当的数填空： =（x- ）2． 5．已知是完全平方式，则常数k等于 . 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　）知识点2 用配方法解一元二次方程 A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 9．（2024·河南开封·一模）用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 10．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 知识点3 用配方法求二次多项式的最值 13．（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）代数式的最小值是 ，当取得最小值时，x的值是 ． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 四、单选题 17．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 19．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）当y为何值时，代数式的值与代数式的值相等． 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 21．（23-24九年级上·青海西宁·期末）解方程：． 22．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：． 23．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 五、填空题 24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.1第二课时 配方法 知识点1 配方 1．填写适当的数使下式成立. ①x2+6x+ =(x+3)2 ②x2－ x+1=(x－1)2 ③x2+4x+ =(x+ )2 【答案】 9 2 4 2 【分析】根据配方法即可求解，配方的技巧是配一次项系数一半的平方. 【详解】解：(x+3)2= x2+6x+9，得①解. (x－1)2=x2-2x+1，得②解. x2+4x+4=（x+2）2，得③解.故答案为：9；2；4；2. 【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤. 2．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）在下列空白处填上适当的数或式子，使等式成立． ① （x ）2； ② （y ）2； ③ （x ）2． 【答案】 【分析】根据配方法，二次项的系数为1，配一次项系数的一半的平方，进行计算即可． 【详解】解：①； ②； ③； 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方的方法：将二次项的系数化为1，配一次项系数一半的平方，是解题的关键． 3．用适当的数填空： （1）x2-3x+ =（x- ）2 （2）ax2+bx+ =a（x+ ）2 【答案】 【分析】（1）根据配方法的技巧，加,右边括号里是.(2)先提起二次项系数a，再配方. 【详解】（1）根据配方法的技巧，加,右边括号里是. x2-3x+ =(x-)2； (2)先提起二次项系数a，再配方. ax2+bx+= a（x+）2. 【点睛】本题主要考查了配方法的步骤和技巧，熟练掌握配方法的技巧是本题的解题关键. 4．用适当的数填空： =（x- ）2． 【答案】4；2 【分析】根据完全平方公式：，即可得出结论． 【详解】解： 故答案为：4；2． 【点睛】此题考查的是配方，掌握完全平方公式是解题关键． 5．已知是完全平方式，则常数k等于 . 【答案】16 【详解】试题分析：根据完全平方式的特点：两数的平方和，加减两数积的2倍，因此8=2×4x，k为另一个数的平方，因此k=16. 考点：完全平方式 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　）知识点2 用配方法解一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案． 【详解】解：、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项正确； 、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项错误； 故选：． 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据配方法进行移项，配方即可得出选项． 【详解】解：， ， 配方得：， ， 故选：A． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 9．（2024·河南开封·一模）用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 10．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的意义，根据题意利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 知识点3 用配方法求二次多项式的最值 13．（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝ 时，它的最小值为 ． 对于多项式，当＝ 时，它的最大值为 ． 【答案】 1 1 7 【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案． 【详解】 当时，多项式有最小值，最小值是1． ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）代数式的最小值是 ，当取得最小值时，x的值是 ． 【答案】 7 1 【解析】略 15．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 17．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法在变形后的方程等式两边同时加上1即可确定、的值．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方的和． 【详解】解： ， ， 即， ，， ． 故选：D． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】 即 ∴ ∴ 依题意， ∴ ∴ 故答案为：． 19．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）当y为何值时，代数式的值与代数式的值相等． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．根据题意可得，整理并求解即可． 【详解】解：根据题意得：，即， ， 解得：． 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 21．（23-24九年级上·青海西宁·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据解一元二次方程的方法：配方法进行求解． 【详解】解：， 整理，得， ， 配方得， 开方，得， 解得． 22．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解． 【详解】解：， 原方程化为， 配方得， 即， 开方得， ， ∴，． 23．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）两题直接用配方法解方程；第（3）题可以将看成一个整体，再用配方法解方程． （1）移项、配方，得，即， 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 两边同时开平方， 得或， ∴，． （3）配方，得， 即． 两边同时开平方，得或， ∴，． 24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，， （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$