21.1 一元二次方程（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.1一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义及一般形式 1．（19-20九年级·湖南郴州·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·广西贺州·期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．2，1，6 B．2，－6，－1 C．2，－1，－6 D．2，－1，6 4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 . 5．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则m的值为 . 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 7．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 8．（23-24九年级上·海南海口·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ）知识点2 一元二次方程的解 A． B． C．1 D．2 9．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（   ） A． B． C．3 D．4 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 12．（23-24九年级上·重庆大足·期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（    ）知识点3 根据实际问题列出一元二次方程 A． B． C． D． 13．（20-21八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 14．（2023·山东青岛·二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（即所有参赛队在比赛中均能相遇一次），若单循环比赛共进行了45场，则共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为 ． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 16．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 17．（23-24九年级上·河南安阳·期中）方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·重庆·期末）保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 20．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 21．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.1一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义及一般形式 1．（19-20九年级·湖南郴州·阶段练习）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3．（21-22八年级下·广西贺州·期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．2，1，6 B．2，－6，－1 C．2，－1，－6 D．2，－1，6 【答案】B 【分析】根据一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故选：B． 【点睛】本题考查对一元二次方程定义的理解，掌握根据一般式得到二次项系数，一次项系数，常数项是解决问题的关键． 4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 . 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的一般形式：得出m、n的值，代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则m的值为 . 【答案】－3 【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．即①含有一个未知数；②未知数的最高次数是2，且系数不等于0；③等式两边都是整式． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 【答案】 【分析】将方程化为一般形式，根据方程为一元二次方程且没有一次项，得到且，解得的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 该方程为一元二次方程且没有一次项， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，根据没有一次项得到一次项系数为是解答本题的关键． 7．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 8．（23-24九年级上·海南海口·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ）知识点2 一元二次方程的解 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ， 故选：C． 9．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， 将代入得：， 解得：， 故选：A． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知m为方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．把代入方程得出，把化成，代入求出即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ∴ ， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 知识点3 根据实际问题列出一元二次方程 12．（23-24九年级上·重庆大足·期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：D． 13．（20-21八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 14．（2023·山东青岛·二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（即所有参赛队在比赛中均能相遇一次），若单循环比赛共进行了45场，则共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答． 【详解】解：共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 16．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 17．（23-24九年级上·河南安阳·期中）方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，满足二次项系数不为，并且二次项的次数是，直接计算即可求解的值． 【详解】解：∵是一元二次方程； ∴； ∴； ∵； ∴； 故选：A． 18．（23-24八年级下·重庆·期末）保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程． 根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程． 【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子， ， 故选：D． 19．（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， 把代入得，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解． 【详解】解：∵的两个根分别为，3， ∴中，，或， 解得：或， 故选：C． 21．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$