专题训练01 一元二次方程根的判别式的三种应用（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 专题训练1 根的判别式的三种应用 知识点1 判断一元二次方程根的情况 1．（2024·云南·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（k、b是常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 5．（23-24九年级上·河北唐山·期中）直线不经过第二象限，此时a 0，同时关于x的方程．有 个实数解． 知识点2 求字母的值或取值范围 6．（23-24八年级下·广西梧州·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 8．（23-24八年级下·吉林·期末）若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 知识点2 判断三角形形状 10．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 11．（2023·山东枣庄·一模）已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 12．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 13．（2020·辽宁鞍山·一模）已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为 14．（14-15九年级下·河南濮阳·阶段练习）已知、、是△ABC的三边，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是 三角形（填三角形的形状）. 15．（10-11九年级上·江苏南京·期中）已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由. 四、填空题 五、解答题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 专题训练1 根的判别式的三种应用 知识点1 判断一元二次方程根的情况 1．（2024·云南·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，，方程有两个不同的实数根，，方程有两个相同的实数根，，方程没有实数根，根据一元二次方程根的判别式进行判断是解题的关键． 【详解】解：，即：， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 3．已知一次函数（k、b是常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】根据一次函数的图像，确定的符号，再判断一元二次方程的判别式，即可求解． 【详解】解：由一次函数图像可得：当时，，即， ∴， 方程的判别式 ∵ ∴ ∴方程有两个不相等时的实数根． 故选：D 【点睛】此题考查了一次函数的图像与性质，一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算．先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．（23-24九年级上·河北唐山·期中）直线不经过第二象限，此时a 0，同时关于x的方程．有 个实数解． 【答案】 一或两 【分析】根据一次函数的性质，函数图像不经过第二象限即可得到答空1答案，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得到答空2答案； 【详解】解：∵不经过第二象限， ∴， 故答空1答案为：， 当时，原方程变形为，有一个解， 当时， ， ∴有两个不相等的实数根， 故答空2答案为：一或两； 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，函数图像不经过第二象限，一元二次方程判别式大于0有两个不相等的实数根，等于0有两个相等的实数根，小于0无实数根． 知识点2 求字母的值或取值范围 6．（23-24八年级下·广西梧州·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 由一次函数可得，， ∴一次函数过一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：。 9．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，明白根据关于的方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程且，得出不等式和求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即，且， 解得：且， ∴的取值范围是：且， 故答案为且． 知识点2 判断三角形形状 10．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 11．（2023·山东枣庄·一模）已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于的等式，因式分解后即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即 ∴ ∴或 ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，因式分解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 13．（2020·辽宁鞍山·一模）已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为 【答案】直三角形 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，整理可得到c2+b2=a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形． 【详解】解：∵方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0， ∴c2-(a2-b2)=0， ∴c2-a2+b2=0， ∴c2+b2=a2， ∴△ABC的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根． 14．已知、、是△ABC的三边，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是 三角形（填三角形的形状）. 【答案】直角． 【详解】试题分析：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴△=，即，∴，即，∵a、b、c是△ABC的三边，∴此三角形是直角三角形．故答案为直角． 考点：1．根的判别式；2．勾股定理的逆定理． 15．已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由. 【答案】直角三角形，理由见解析． 【分析】把方程化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0，由由b、c的实际意义可知b+c＞0，即原方程是关于的一元二次方程；由方程有两个相等的实数根可得“△=0”，列出关系式化简，由勾股定理逆定理可判断该三角形为直角三角形. 【详解】解：方程化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0， 由b、c的实际意义可知：b+c＞0 ∴原方程是关于的一元二次方程， ∵原方程有两个相等的实数根, ∴△=(−2a)²−4(b+c)(c−b)=0 整理,得：4a²+4b²−4c²=0，即a²+b²−c²=0， 移项,得：a2+b2=c2 ∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：这个三角形是直角三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$