21.3 实际问题与一元二次方程（3）（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.3实际问题与一元二次方程（3） 第三课时 几何图形面积问题和动点问题 知识点1 几何图形问题 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 知识点2 动点问题 5．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 9．（23-24八年级下·北京石景山·期末）要在一块长12，宽8的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为．若设两条甬道的入口宽，则根据题意列出的方程可以为 ． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 11．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小张利用家里闲置的长方形硬纸板制作收纳盒（如图1），收纳玩具．已知，长方形硬纸板长为100cm，宽为40cm． (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图2），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，设小长方形的宽为xcm，长ycm．请求出y关于x的函数关系式，并判断家里一个玩具机械狗能否完全放入该收纳盒并合上盖子（不考虑倾斜放入）．若能，请写出一组x、y的值；若不能，请说明理由． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期中）郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万．    (1)求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； (2)为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.3实际问题与一元二次方程（3） 第三课时 几何图形面积问题和动点问题 知识点1 几何图形问题 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(   )        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系． 如果设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【详解】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：C． 2．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 知识点2 动点问题 5．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程． 【详解】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 9．（23-24八年级下·北京石景山·期末）要在一块长12，宽8的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为．若设两条甬道的入口宽，则根据题意列出的方程可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．把所修的两条甬道分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故围成的矩形基地边的长为米． （2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，， 故围成的矩形基地边的长为米或米． 11．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小张利用家里闲置的长方形硬纸板制作收纳盒（如图1），收纳玩具．已知，长方形硬纸板长为100cm，宽为40cm． (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图2），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，设小长方形的宽为xcm，长ycm．请求出y关于x的函数关系式，并判断家里一个玩具机械狗能否完全放入该收纳盒并合上盖子（不考虑倾斜放入）．若能，请写出一组x、y的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长； (2)，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，合理将实际问题转化成方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出等式求得y关于x的函数关系式；再分两种情况讨论，判断玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长； （2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得： ，即， 当时，则，解得：， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒； 当，则， ∴ ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒； 综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期中）郑州黄河风景名胜区，又称郑州黄河水利风景区，位于河南省省会郑州市西北20千米处黄河之滨，南依岳山，北邻黄河，历经四十年的开发建设，现已开放面积20多平方千米，形成了融观光旅游、休闲度假、科普教育、寻根祭祖、弘扬华夏文明为一体的大型风景名胜区，吸引大批市民前来游玩休闲，2020年受新冠疫情的影响，游玩市民在逐年下降．据统计，该风景区游玩人数从2019年的每周1.44万下降到2021年的每周0.81万．    (1)求2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率； (2)为吸引客流，风景区今年准备在如图的墙，周围用篱笆围成一个跑马场，墙长为36米，无限长，篱笆，，把跑马场隔成跑马区（矩形）和饲养区（等腰直角三角形）两个区域，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为米．设的长为x米．当x为多少时，跑马区的面积为600平方米？ 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列方程求解， （1）设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y，利用2021年郑州黄河水利风景区游玩人数＝2019年郑州黄河水利风景区游玩人数×（1﹣2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率）的平方，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据各边之间的关系，可得出米，结合跑马区的面积为600平方米，可列出关于x的一元二次方程解的x，再结合墙长为36米，即可确定结论． 【详解】（1）解：设2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为y， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2019年到2021年郑州黄河水利风景区游玩人数平均每年降低的百分率为； （2）∵篱笆总长为84米，且米，四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当x为20米时，跑马区的面积为600平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$