21.3 实际问题与一元二次方程（1）（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题、数字问题和循环比赛问题 知识点1 传播问题 考向一：传染病问题 1．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流．该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南常德·期中）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 考向二：树枝分叉问题 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）“十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（　　） A．x2+x＝241 B．（x+1）2＝241 C．x（x﹣1）＝241 D．x2+x+1＝241 7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出小分支的数目是（    ）个 A．7 B．8 C．9 D． 8．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 考向三：细胞分裂问题 10．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（    ） A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n 11．（22-23九年级上·山东济宁·阶段练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 循环比赛问题 12．（23-24九年级上·陕西西安·期中）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·广东中山·期中）篮球比赛每两个队之间都要比赛一场，共比赛15场．设x个队，列方程为 ． 15．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如果一个正多边形共有14条对角线，那么这个多边形的边数是 ． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）知识点3 数字问题    A． B． C． D． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 19．（18-19八年级下·全国·课后作业）两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为 ． 20．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 22．（2019·河北保定·一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手　 　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　 　次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　次； （3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． （4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论． 23．（20-21九年级上·河北唐山·期中）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手____次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手______次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 拓展： 嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，求m的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若对，请求出m的值；若不对，请说明理由． 24．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题、数字问题和循环比赛问题 知识点1 传播问题 考向一：传染病问题 1．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：，即， 解得：（舍去），， 故选：． 2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流．该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有36人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了x人， 由题意得：， 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖南常德·期中）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人， 故答案为：12． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【答案】(1)每天平均一个人传染了8人 (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据题意列方程即可解答； （2）根据（1）的数据即可求解； 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天平均一个人传染了x人． 由题意得，， 解得：（舍去）． ∴每天平均一个人传染了8人． （2）（人） 答：如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人． 考向二：树枝分叉问题 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 6．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）“十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（　　） A．x2+x＝241 B．（x+1）2＝241 C．x（x﹣1）＝241 D．x2+x+1＝241 【答案】D 【分析】设邀请x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，即可列出方程． 【详解】解：根据题意得：x2+x+1＝241． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出小分支的数目是（    ）个 A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设每个支干长出小分支的数目为个，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的数目为个， 依题意得，， 整理得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 8．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出 个小分支． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； 设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以每个支干长出6个小分支， 故答案为：6． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【答案】21 【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给个人， 根据题意可得，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给21个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 考向三：细胞分裂问题 10．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（    ） A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n 【答案】C 【分析】第一轮分裂成x个细胞，第二轮分裂成个细胞，结合题意可得答案． 【详解】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到第二轮分裂后的等量关系是解决本题的关键，属于一元二次方程的应用的基础题，比较简单． 11．（22-23九年级上·山东济宁·阶段练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 知识点2 循环比赛问题 12．（23-24九年级上·陕西西安·期中）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 由题意可得：， 故选B． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设该组共有x名同学，每名同学赠书本，根据共互赠了210本图书列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B 14．（23-24九年级上·广东中山·期中）篮球比赛每两个队之间都要比赛一场，共比赛15场．设x个队，列方程为 ． 【答案】 【分析】设x个队，则每个队都要与其他个比赛一场，再由两个队之间的比赛只算一场列出方程即可． 【详解】解：设x个队， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 15．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】全班有x名学生，则每名学生都会向名学生赠送一张相片，再根据一共送出1560张相片列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生， 根据题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如果一个正多边形共有14条对角线，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】此题考查了多边形对角线，根据n边形的对角线为条列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则 解得或（不合题意，舍去） 即这个多边形的边数是7， 故答案为：7 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）知识点3 数字问题    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 18．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 19．（18-19八年级下·全国·课后作业）两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为 ． 【答案】x(x＋5)＝84 【分析】如果设较小的数是x，那么较大的数为（x＋5），根据题意可列出方程． 【详解】设较小的数是x， 那么较大的数为（x＋5）， ∴（x＋5）•x＝84． 故填空答案：（x＋5）x＝84． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，重在看准题，找到列方程的数量关系是关键． 20．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 即 ∴ ∴ 解得：或 故答案为：或． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 22．（2019·河北保定·一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手　 　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　 　次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　次； （3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． （4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论． 【答案】（1）3；10；（2） ；（3）参加聚会的人数为8人；（4） . 【分析】（1）（2）（3）根据题意每个人要与他自己以外的人握手一次，当两人只握手一次，所以握手次数为：×聚会人数×（聚会人数-1），故可进行计算求解；（4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数. 【详解】（1）若参加聚会的人数为3，则共握手3次； 若参加聚会的人数为5，则共握手10次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次 （3）由题意得：=28，即 解得，，（舍去） 答：参加聚会的人数为8人． （4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数为 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解. 23．（20-21九年级上·河北唐山·期中）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手____次； （2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手______次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 拓展： 嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，求m的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若对，请求出m的值；若不对，请说明理由． 【答案】（1）3；15；（2）n（n﹣1）；（3）参加聚会的有10人；拓展：琪琪的思考对，理由见解析． 【分析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论； （2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论； （3）由（2）的结论结合共握手45次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 拓展：根据题意即可得出关于m的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对． 【详解】解：（1）参加聚会的人数为3，则共握手×3×2＝3（次）； 若参加聚会的人数为6，则共握手×6×5＝15（次）； 故答案为：3，15； （2）参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次． 故答案为：n（n﹣1）； （3）设有x 人参加聚会，根据题意得， x（x﹣1）=45， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人． 拓展：解：琪琪的思考对，理由如下： 设从点O共引出m条射线，若共有20个角， 则有：， 解得：m＝，（负值舍去）， ∴m=，与m为正整数矛盾， 所以不可能有20个角． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 【答案】(1)15， (2)30， (3)七，不存在，见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、判别式的意义、多边形的对角线的条数： （1）结合图中的数学模型，得6支足球队进行单循环比赛，即，根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则，即可作答． （2）中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律即可得结论． （3）先设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形，根据，解出即可作答．再设存在有33条对角线的凸多边形为边形，根据，解出即可作答． 【详解】（1）解：依题意，6支足球队进行单循环比赛，即（场）， ∵学校有n支足球队进行单循环比赛， ∴（场） 则该校一共要安排场比赛； （2）解：中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称）， 那么在这段线路上往返行车， 要准备车票的种数为：（种）． 故答案为：30； （3）解：依题意，设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形， 得 ∴ 则（舍去） ∴一个凸多边形共有14条对角线，它是七边形； 不存在有33条对角线的凸多边形： 设存在有33条对角线的凸多边形为边形，且为正整数， 得 则 ∵不是整数， ∴不是整数 所以不存在33条对角线的凸多边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$