精品解析：山东省临沂市兰陵县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

2023-2024学年度上学期质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题所给的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 已知：1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（ ） A. 1.25×10﹣9米 B. 1.25×10﹣8米 C. 1.25×10﹣7米 D. 125×10﹣6米 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点和的位置关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 轴 5. 如图，在△AOB和△COD中，OA=OC，则下列补充条件中不能说明△AOB≌△COD的是（ ） A. AB=CD B. OB=OD C. ∠A=∠C D. ∠ABO=∠CDO 6. 下列分式中是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（       ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 是等边三角形 D. 作 8. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长最小值为（   ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 已知等腰直角三角形，斜边的长为2，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则点C的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，…，求两人每分钟各录入多少字？设小红每分钟录入x个字，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（　　　） A. 两人每分钟录入字数的和是220字 B. 所用时间相同，两人每分钟录入字数的和是220字 C. 所用时间相同，小红每分钟录入字数比小丽多220字 D. 所用时间相同，小丽每分钟录人字数比小红多200字 12. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ） A 或2 B. 2 C. D. 无解 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 当x_____时，分式有意义． 14. 分解因式：______ . 15. 如图，是等腰三角形，，，是上两点，，延长至点，使，已知，则的度数为______． 16. 如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）解分式方程：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标. 20. 如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 21. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 22. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套． （1）求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元； （2）该校共购进“四大名著”多少套？ 23. 如图，P是等边三角形内一点，连接，，，，，以为边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）当时，若，求的长； （3）若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度上学期质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题所给的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，故C符合题意； D、不是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念，“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图象关于这条直线成轴对称”，是解题的关键． 2. 已知：1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（ ） A. 1.25×10﹣9米 B. 1.25×10﹣8米 C. 1.25×10﹣7米 D. 125×10﹣6米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：125纳米=1.25×10﹣7米， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数小于1时，n是负整数，等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则．积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则，即可得出答案． 【详解】解：A．x2•x3=x5，故此选项错误； B．x2+x2=2x2，故此选项错误； C．（-3a3）•（-5a5）=15a8，故此选项正确； D．（-2x）2=4x2，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题考查用同底数幂的乘法运算,积的乘方运算和单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 点和的位置关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，可知两点关于轴对称，即可． 【详解】解：∵点和的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴两个点关于轴对称， 故选B． 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，是解题的关键． 5. 如图，在△AOB和△COD中，OA=OC，则下列补充条件中不能说明△AOB≌△COD的是（ ） A. AB=CD B. OB=OD C. ∠A=∠C D. ∠ABO=∠CDO 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 详解】∵∠AOB=∠COD，OA=OC， ∴当添加AB=CD时，根据“ASS”不能判断△AOB≌△COD； 当添加OB=OD时，可根据“SAS”判断△AOB≌△COD； 当添加∠A=∠C时，可根据“ASA”判断△AOB≌△COD； 当添加∠ABO=∠CDO时，可根据“AAS”判断△AOB≌△COD． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6. 下列分式中是最简分式的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； B、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； C、∵，∴不是最简分式，故本选项不符合题意； D、是最简分式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的约分和最简分式的定义，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 7. 如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（       ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 是等边三角形 D. 作 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：连接, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键． 8. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式及图形的特点找到长度关系即可依次判断． 【详解】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故，正确； 、由图象可知，即，正确； 、由和，可得，，错误； 、由，，可得，，所以，正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题． 9. 如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为（   ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，的长度最小， ， ， ， 的最小值是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当时，的长度最小是解此题的关键． 10. 已知等腰直角三角形，斜边的长为2，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则点C的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是C的位置不确定，需要讨论．根据题意画出图形，由等腰三角形的性质即可求出点C的坐标． 【详解】解：已知如图所示： ①当点C在y轴的正半轴时， ∵，，， ∴， ∴点C的坐标是； ②当点C在y轴的负半轴时，由①可知：点C的坐标是； 综上可知：点C的坐标是或（， 故选C． 11. 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，…，求两人每分钟各录入多少字？设小红每分钟录入x个字，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（　　　） A. 两人每分钟录入字数的和是220字 B. 所用时间相同，两人每分钟录入字数的和是220字 C. 所用时间相同，小红每分钟录入字数比小丽多220字 D. 所用时间相同，小丽每分钟录人字数比小红多200字 【答案】B 【解析】 【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率，从而得出正确答案． 【详解】解：设小红每分钟录入x个字，则可得方程，根据此情景，题中用“…“表示的缺失的条件应补为所用时间相同，两人每分钟录入字数的和是220字， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断． 12. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中较小的值，如．按照这个规定，方程的解为（ ） A 或2 B. 2 C. D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义运算的规定，分两种情况讨论：当，即时，当，即时，分别得到分式方程，再求解即可． 【详解】解：当，即时，， 解得：， 经检验：是方程的根， ∵， ∴不是方程的解； ， 解得：， 经检验：是方程的根， ∵， ∴不是方程的解； ∴方程无解． 故选：D 【点睛】本题考查了解分式方程，新定义运算等知识，理解规定符号的意义是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 当x_____时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是熟记分式有意义的条件是分母不为0． 14. 分解因式：______ . 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： 故答案为： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 15. 如图，是等腰三角形，，，是上两点，，延长至点，使，已知，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等角对等边得出，根据已知条件和邻补角的定义得出，证明得出，然后根据等角对等边以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是__________（填写序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据PR=PS，易证△APR≌△APS，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得∠PQS=∠BAC，结论②成立，△BPR和△QSP只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等； 【详解】解：△APR和△APS中，PR=PS，AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°， ∴△APR≌△APS， ∴AR=AS，∠PAR=∠PAS， 故①结论正确； △QAP中，QA=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠PQC=∠QAP＋∠QPA=2∠QAP，∠QAB=2∠QAP， ∴∠PQC=∠QAB， ∴QP∥AR， 故②结论正确； △BPR和△QSP仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等； 故答案为：①② 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解分式方程，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则，准确计算． （1）根据多项式乘多项式运算法则，完全平方公式，合并同类项法则，进行计算即可； （2）依次去分母、移项、合并同类项、系数化1，解方程，再检验结果即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可． 【详解】解： ， 当时，原式=4 【点睛】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简． 19. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标. 【答案】（1）（2）见解析；（3）P（0，2）． 【解析】 【详解】分析：（1）根据A，C两点的坐标即可建立平面直角坐标系. （2）分别作各点关于x轴的对称点，依次连接即可. （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，即为所求. 详解：（1）（2）如图所示： （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，则点P即为所求． 设直线B1C′的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B1（﹣2，-2），C′（1，4）， ∴，解得：， ∴直线AB2的解析式为：y=2x+2， ∴当x=0时，y=2，∴P（0，2）． 点睛：本题主要考查轴对称图形的绘制和轴对称的应用. 20. 如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由是的角平分线结合平行线的性质得出，从而得出，同理可得：，即可得证，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边是解此题的关键． 【详解】证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 21. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）是等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据“”分法即可得出答案； （2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 22. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套． （1）求第一批购进“四大名著”每套的价格是多少元； （2）该校共购进“四大名著”多少套？ 【答案】（1）150元；（2）44套 【解析】 【分析】（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，列出方程即可； （2）由（1）得，当时，，即可求解． 【详解】解：（1）设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元， 则根据题意，得 解得 经检验是所列方程的解． 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元． （2）当时，， 所以（套）． 答：该校共购进“四大名著”44套． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23. 如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，，，以为边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）当时，若，求的长； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和等边三角形，得到，，，然后由判定定理得出结论； （2）由和等边三角形、等边三角形，求得，，然后由直角三角形的性质得，即可求解； （3）先由，得，再由是等边三角形，，再由，得，然后由周角定义，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$