2.1～2.3 不等式性质、基本不等式、一元二次不等式压轴精练（尖子生清北班名校班火箭班快班专用）-【会一题通一类系列高一数学】

2.1-2.3 不等式性质、基本不等式、 一元二次不等式（压轴精炼） （尖子生清北班名校班火箭班快班专用） 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·河南郑州·期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 9．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 11．（20-21高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 12．（2021高一下·湖北武汉·学业考试）已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 13．（23-24高一上·安徽池州·期中）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 14．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最小值4 C．有最小值2 D． 有最大值 15．（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，下列说法正确的有（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 18．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 19．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 三、填空题 21．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 22．（21-22高一上·吉林长春·期末）已知，，且，则的最小值为 . 23．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 24．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值为 . 25．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 26．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 27．（23-24高一上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 28．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 29．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 30．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 四、解答题 31．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 32．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 33．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的解集； (2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 34．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 35．（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 36．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 37．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 38．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 39．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 40．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1-2.3 不等式性质、基本不等式、 一元二次不等式（压轴精炼） （尖子生清北班名校班火箭班快班专用） 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 2．（22-23高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 4．（22-23高三上·河南郑州·期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 5．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 6．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 7．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】解：因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 又，所以， 即， 所以的最小值为1， 所以， 即的最大值为1. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】 利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A选项. 【详解】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题. 9．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 二、多选题 11．（20-21高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 12．（2021高一下·湖北武汉·学业考试）已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 13．（23-24高一上·安徽池州·期中）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以，故的值可以是和， 故选：BC 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 14．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最小值4 C．有最小值2 D． 有最大值 【答案】ACD 【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值. 【详解】依题意，， 由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项A正确； ，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项B错误； , 当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为2，选项C正确；               ， 如上式取最大值，须，且取最小值， ， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，选项D正确. 故选：ACD 15．（23-24高一上·江西·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断. 【详解】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，所以A正确，B错误， 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式性质的应用，解题的关键是对已知的等式进行恰当的变形，利用完全平方的非负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 16．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知不等式对恒成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意先对不等式左边变形并不断利用基本不等式求出它的最小值，注意取等条件是否成立，然后将恒成立问题等价转换，即可求出参数的范围，最后对比选项即可求解. 【详解】由题意 ， 第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当， 综上所述：，当且仅当时成立； 又不等式对恒成立，等价于， 解得，对比选项可知的值可以是或或. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是将不等式左边变形，利用基本不等式求最小值，从而可将恒成立问题等价转换，进而顺利求解，灵活的变形技巧是必不可少的，当然利用基本不等式求最小值时，要注意验证取等条件. 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，下列说法正确的有（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用换元法，结合二次方程的判别式判断ABD，利用完全平方公式，结合二次不等式判断C，从而得解. 【详解】对于A，因为，即， 将其看成关于的一元二次方程，显然有解， 所以，解得，故A错误； 对于B，令，则， 将其代入，得， 整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解， 所以，解得，故B正确； 对于C，因为，令， 所以由，得 ，即， 两边平方，得，解得，故C正确； 对于D，令，则， 将其代入，得， 整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解， 所以，解得，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是善用换元法，将问题进行转化，从而得解. 18．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 19．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 20．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 三、填空题 21．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 22．（21-22高一上·吉林长春·期末）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】，展开后利用基本不等式可求． 【详解】∵，，且， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为12． 故答案为：12． 23．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 24．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】分式上下同除以变形，再将分母配凑为三项的完全平方式与的形式，最后利用基本不等式与平方的非负特点求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，则. 因为 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 即的最大值为. 故答案为：. 25．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 26．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求得的取值范围，再把整体代换构造均值不等式即可. 【详解】由已知得，所以， 则 ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为， 故答案为： 27．（23-24高一上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【详解】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到关于的式子其积为定值，从而利用基本不等式得解. 28．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 29．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】设， 则由题意可得， 因为，所以 ①当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； ②当时，，只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号. 综上所述，的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件. 30．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】 从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值. 【详解】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题 31．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式解集得方程的根，由韦达定理待定系数即可； （2）结合二次函数图象的开口方向、判别式的符号、以及根在不在区间内（即根的正负）进行分类讨论，最后整合结论即可. 【详解】（1）由得，， 因为不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以有，解得. 则， 验证：由解得，或，满足题意. 故实数的值为. （2）若，则， 不等式即， 当时，恒成立，则，又已知，则； 当时，. ①当时，，且函数开口向下，过定点， 则方程有且只有一个正根， 设方程的两根为，由，则 ， 由不等式解得，又，所以； ②当时，，且函数开口向上， 则恒成立，则； ③当时，，不等式为， 解得，由，得，或； ④当时，，且函数开口向上， 设方程的两根为， 则由韦达定理知，，则方程两根均为正根， 且，， 故由不等式解得，或， 又，所以，或； 综上所述，若， 则当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 32．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 33．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的解集； (2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求解一元二次不等式即可； （2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）时，函数， 不等式即为， 即， 解得， ∴不等式的解集为. （2）设，， 根据题意知，在上恒成立， ①当时，解得， 若，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 则，不符合题意； ②当，即时，的图像为开口向下的抛物线， 要使在上恒成立，需， 即，解得或， 又∵，∴此时无解； ③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为， （i）当，即时，在上单调递增， ∴，解得或， ∵，，∴此时无解； （ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，此时无解； （iii）当，即时，在上单调递减， ∴，解得或， ∵，，∴此时无解； 综上，不存在符合题意的实数. 34．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【分析】先用边长通过几何关系表示出所求面积，再用基本不等式即可求解，注意检验等号是否能取得 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 35．（23-24高一上·江西吉安·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，且，由对称性可得：， 由勾股定理可得： , 又,, 设，的周长为,则, ，. 故的周长为定值2. （2）由（1）问可知：，且 ，， . 当且仅当，即，的面积S取到最大值. 36．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1)，； (2)时，面积最小，. 【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可． （2）设圆形铁片半径为R，面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式， 可得，整理得， 又由，所以， 即函数的定义域为， 即，． （2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2， 过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则， 所以=， 因为x2＞0，由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以圆形铁片的最小面积为（cm2），    答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）． 37．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【详解】（1）已知， 由即， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知， 由得，不等式组有解， 由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 38．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 39．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可. （2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可； 解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解； （3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以，所以的解集为. （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，，对称轴，由题意，只须， ①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以； ②当，即时，在上单调递城，在单调递增， 所以，解得且， 所以. 综上，. 解法二：不等式可化为，即，设，， 由题意，只须，， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即. （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴，在递减，在递增， ，，，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增， ，，所以，故； ③即时，在递减，，， 所以，解得，综上：. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键. 40．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用基本不等式证明即可； （2）构造，，，采用叠加法即可证明. 【详解】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，则， 同理由可得， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为x，y，，所以，，， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为x，y，，且，所以，， 所以，，所以． 【点睛】本题第（2）问通过，，相加得到，这种方法为叠加法，叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$