精品解析：广东省肇庆市龙涛外国语学校高中部2024届高三第三次高考模拟测试数学试卷

肇庆龙外高中部2024届高三第三次高考模拟测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 2. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出截面图形，易知截面为菱形，再结合菱形面积公式求解即可 【详解】设平面交棱AD于F， 由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，， 由勾股定理可得四边形所有边长的长度为， 所以是菱形，且为的中点， 取的中点，连接，则 ， 故． 故选：C． 3. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解. 【详解】因为， 所以，， ， 因为，所以， 故选：B 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 5. 已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数的除法运算计算即得. 【详解】依题意，，， 则， 所以所求虚部为. 故选：C 6. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A. 15 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A. 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 8. 已知函数.则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的最小值是一个与无关的常数 C. 可能有三个不同的零点 D. 当时，有且仅有一个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导，对常数按选项进行分类讨论，从而得到函数的单调性和极值情况，再根据数形结合，即可以判断各选项. 【详解】对于A，由， 当时，， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以对任意的，都有，即在上单调递增，故A正确； 对于B，当时， 有， 所以当时，则，即在上递增； 当时，则，即在上递减； 即，所以的最小值是一个与无关的常数，故B正确； 对于D, 当时,分类讨论： 当时，由可知： 所以当或时，则，即在和上递增； 当时，则，即在上递减； 即在时有极小值，在时有极大值， 由于时， （这里运用指数爆炸增长，它的增长速度一定会大于二次函数的增长速度） 所以由上可得有且仅有一个零点； 当时，由可知： 所以当或时，则，即在和上递增； 当时，则，即在上递减； 即在时有极大值，在时有极小值， 由于时，， 所以有且仅有一个零点； 当时，由A得：在上单调递增，由， 由于时，， 所以由上可得有且仅有一个零点； 综上可以判断D是正确的； 对于C，由于当时，有且仅有一个零点， 当时， 有， 所以当时，则，即在上递增； 当时，则，即在上递减； 此时最多有2个不同的零点； 当时，，此时显然只有一个零点； 所以不可能有三个不同的零点，故C是错误的； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对参数进行分类讨论，来判断原函数的单调性和极值，从而就可以解决问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直性质定理判断A，由条件确定的位置关系，判断B， 根据线面平行性质定理，判定定理证明，判断C，由条件确定位置关系，判断D. 【详解】若，，且m，n为两条不同的直线，由线面垂直性质可得，所以A正确； 若，，则m与n可能相交、平行或异面，所以B不正确； 若，，设过m的平面与，分别交于，，则，，， 所以，又因为，，所以，则，所以C正确； 因为，，，若平面与不垂直，则与平面相交但不垂直．故D错误. 故选：AC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第6个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率为 C. 是椭圆的一个焦点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】椭圆上所有的点绕原点旋转角， 得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 则关于对称， 所以，故D正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以，故A正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以， 则，则，故B错误； 所以焦点坐标为或，所以C正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到的值，再按照普通椭圆的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知样本数据 都为正数，其方差 ，则样本数据 、的平均数为______. 【答案】11 【解析】 【分析】设样本数据的平均数为，由条件结合方差公式可求，再根据平均数的性质可求结论. 【详解】设样本数据的平均数为，则，， 所以 所以 所以， 又， 所以，又，所以， 所以样本数据 、的平均数为. 故答案为：. 13. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则数列的前项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知定义先求出，，代入后结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，小于的所有正奇数都与互质，共有个，所以， 小于且大于0的所有与不互质的数是3的倍数，故与互质的数共有，即， 所以 则其前项和为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. （1）求证：，，，四点共面： （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合中位线定理得到，最后证明四点共面即可. （2）找到对应二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 取，的中点分别为，，连接，， 取，的中点分别为，，连接，，， 由题意知，都是等边三角形， 所以，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为，的中点分别为，，所以 所以，所以， 所以，又因为， 所以， 因为，的中点分别为，， 所以， 所以，所以，，，四点共面； 【小问2详解】 连接，，且延长交于点，由题意知，， 所以，同理， 所以就是二面角的平面角， 设，则，，， 所以，同理， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 16. 教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示没有投中）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 投篮情况 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 序号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 投篮情况 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 把频率估计为概率： （1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率； （2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的次数为，写出随机变量的分布列，并求. 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由题可得甲投篮投中的概率，投不中的概率为，故所求概率为恰有一次投中，一次没有投中的概率为，代入数据即可求解； （2）表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为，上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为，的所有可能取值为0，1，2，然后求出对应概率即可得解. 【小问1详解】 根据表中的数据，在甲前30次的投篮过程中，有19次投中，11次没有投中，因此因动员甲投篮投中的概率，投不中的概率为，若甲各次投篮互相独立，那么第31，32次投篮，恰有一次投中，一次没有投中的概率为； 【小问2详解】 根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为， 上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为， 的所有可能取值为，，，且由表格可知第30次运动员甲没有投中， 则， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以. 17. 已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，将椭圆方程化为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得解； （2）不妨设的中点为，则必有，则问题只需要求点的坐标，设，，直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，求出，，即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 因为，所以，即， 不妨设椭圆的方程为，即. 并与直线联立方程，，消去得， 设，，则有，， 由， 所以，即或（舍去）， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为四边形为等腰梯形，则必有， 即，不妨设的中点为，则必有， 要求直线的斜率，只需要转化为求点的坐标，则有， 设，，则有， 有直线的方程为，令，则有, 不妨设直线的方程为，， 则有，， 并与椭圆联立方程，消去得，显然， 则有，，则有， 则有，所以， 所以， 所以. 18. 定义：若变量，且满足：，其中，称是关于的“型函数”. （1）当时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程； （2）若是关于的“型函数”， （i）求的最小值： （ii）求证：，. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，得到， （i）化简，结合基本不等式，即可求解； （ii）由题意，得到，设，，其中，化简得到，记，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，则， 所以，所求切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由是关于的“型函数”，可得，即， （i）因为， 当且仅当即时取得最小值. （ii）由，即，则，且，， 可设，，其中， 于是， 记， 可得， 由，得，记， 当时，当时，，则 ，所以. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 数列满足则称数列为下凸数列. （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； （2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列； （3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列新定义即可证明结论； （2）根据定义只需证明即可，从而结合正项等比数列的性质即可证明；利用反证法可证明不是等比数列； （3）先用反证法证明不可能从某一项开始单调递增，可得出，令，，可推出，即得，从而，利用累加法即可证明结论. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 则，即， 所以任意一个正项等比数列为下凸数列. 【小问2详解】 显然， ， 所以正项数列为下凸数列. 下面证明：正项数列不是等比数列. 若是等比数列，则， 所以， 因为数列，分别为两个正项等比数列， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，与矛盾， 所以数列不是等比数列. 【小问3详解】 假设存在一个常数，使得，但， 因为，所以， 将中的换成得，. 进一步得，. 又，由不等式的可加性得，， 同理可得，， 所以， 所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增， 所以， 因为该规律是固定的，且， 所以当足够大时，必有，与题设矛盾， 所以不可能从某一项开始单调递增，所以， 令，， 由得，， 所以 所以， 即， 进一步得，， 所以， ， ， ， 相加得， 所以. 【点睛】难点点睛：本题考查了数列的新定义问题，解答时要注意理解新定义的含义，难点在于（3）中数列不等式的证明，解答时要首先利用反证法说明不可能从某一项开始单调递增，然后结合新定义以及数列的单调性进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆龙外高中部2024届高三第三次高考模拟测试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 2. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 3. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A. 15 B. 16 C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的最小值是一个与无关的常数 C. 可能有三个不同的零点 D. 当时，有且仅有一个零点 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 11. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率为 C. 是椭圆的一个焦点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知样本数据 都为正数，其方差 ，则样本数据 、的平均数为______. 13. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______. 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则数列的前项和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. （1）求证：，，，四点共面： （2）求平面与平面所成角的余弦值. 16. 教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示没有投中）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 投篮情况 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 序号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 投篮情况 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 把频率估计为概率： （1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率； （2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的次数为，写出随机变量的分布列，并求. 17. 已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率. 18. 定义：若变量，且满足：，其中，称是关于的“型函数”. （1）当时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程； （2）若是关于的“型函数”， （i）求的最小值： （ii）求证：，. 19. 数列满足则称数列为下凸数列. （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； （2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列； （3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $