12.2 全等三角形的判定（第1课时 SSS定理）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 第一课时 “SSS”（边边边）定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问 题的能力. 情景导入 旧知回顾 上节课我们学习了全等图形的概念，你能总结一下什么样的图形是全等图形吗？ 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形完全重合我们便可以称这两个图形全等. 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 全等三角形的性质是什么？ 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等。 根据上节课所学全等三角形的性质我们知道，如果△ABC≌△A'BC'，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，根据全等三角形的定义， 如果△ABC与△A'B'C满足三条边分别相等，三个角分别相等，即 AB=A'B'，BC=B'C'，CA=C'A'， ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 就能判定△ABC≌△A'B'C' 但一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？ 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 1.判定三角形全等的条件 新知探究 使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等） 探究一：同学们动动手，先在草稿纸上任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C' AB=A'B'，BC=B'C'，CA=C'A'， ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗？ 本节课我们就来探讨一下需要几个条件证明两个三角形内全等 m （1）有一条边相等的两个三角形，可以判定三角形全等吗？ 不能 （2）有一个角相等的两个三角形，可以判定三角形全等吗？ α 不能 结论：一个角或一条边相等不能判断两个三角形全等. 只给出一个条件可以判定两个三角形全等吗？ 只给出两个条件可以判定两个三角形全等吗？ （1）分别有一个角和一条边对应相等的三角形可以证明三角形 全等吗？ 不能 （2）分别有两个角对应相等的三角形，可以证明 三角形全等吗？ 不能 m α α β β （3）分别有两条边对应相等的三角形，可以证明 三角形全等吗？ m n n 不能，所以当只给出一个角和一条边相等或两个角对应相等，也不能判断两个三角形全等. 所以三个内角对应相等的三角形也不一定全等. （1）有三个角对应相等的两个三角形，可以判断三角形全等吗？ 60o 300 300 60o 90o 90o 给出三个条件可以证明三角形全等吗？ 给出三个条件可以证明三角形全等吗？ （2）分别有两条边和一个角对应相等的三角形； （3）分别有两个角和一条边对应相等的三角形； （4）分别有三条边对应相等的三角形； α β β θ θ 可以 可以 可以 本节课我们主要研究第四种情况 探究二：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′ B′=AB , B′C′=BC，C′A′ =CA.把画好的△ A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ A C B A ′ C ′ B ′ 全等 想知道我是怎么用直尺和圆规画出全等的三角形吗？ A B C A ′ B′ C′ 作图的结果反映了什么规律？ 你能用文字语言和符号语言概括出来吗？ 作法： （1）画B′C′=BC； （2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'； （3）连接线段A'B',A 'C '. 画一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB， A′C′=AC，B′C′=BC ： 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） “边边边”判定方法 A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. AB=DE， BC=EF， CA=FD， 几何语言： 概念归纳 注意： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理. 课本例1：如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架． 求证：（1）△ABD ≌△ACD ． C B D A 解题思路： 先找隐含条件 公共边AD 再找现有条件 AB=AC 最后找准备条件 BD=CD D是BC的中点 典例剖析 证明：∵ D 是BC中点， ∴　BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中， ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）． C B D A AB =AC (已知） BD =CD （已证） AD =AD （公共边） 准备条件 指明范围 摆齐根据 写出结论 (2)∠BAD = ∠CAD. 由（1）得△ABD≌△ACD ，∴ ∠BAD= ∠CAD. （全等三角形对应角相等） ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 证明题的解题步骤： 概念归纳 用“边边边(SSS)”判定两个三角形全等 边边边(SSS) 内容 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”) 应用 格式 在△ABC和△A'B'C'中,  ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS) 图形 表示        总结归纳 证明    ∵BE=FC, ∴BE-CE=FC-CE,即BC=EF, 在△ABC和△DFE中,   ∴△ABC≌△DFE(SSS). 　如图,点B,C,E,F在同一直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证:△ABC≌△DFE.   练一练 2.如图，点D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，利用“SSS”判定，要使△ABF≌△ECD，还需要增加条件（ ）. B A C D F E BF=CD 或 BD=CF 方法2 解： ∵BD=CF，∴BD+DF=CF+DF. 在△ABF和△ECD中， AB=CE， AF=ED， BF=CD， ∴△ABF≌△ECD（SSS）. 方法1 解：在△ABF和△ECD中， AB=CE， AF=ED， BF=CD， ∴△ABF≌△ECD（SSS）. 练一练 证三角形全等时,常见的隐含的等边有: (1)公共边相等; (2)等边加(或减)等边,其和(或差)仍相等; (3)由中点或中线得线段相等. 总结归纳 已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 作法:(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D; 2.用直尺和圆规作一个角等于已知角 新知探究 O D B C A (2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C’; (3)以点C '为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧相交于点D'; (4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. O D B C A O′ C′ A′ B′ D ′ 1.如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证△ACD≌△CBE. D A B C E 证明：∵点C是AB的中点， ∴AC=CB. 在△ACD和△CBE中， AD=CE， CD=BE， AC=CB， ∴△ACD≌△CBE（SSS）. 课本练习 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么？ 证明：在△MOC和△NOC中， OM=ON, OC=OC, CM=CN, ∴△MOC≌△NOC（SSS）. ∴∠MOC=∠NOC，则OC便是∠AOB的平分线. B 随堂练 B 随堂练 100° 随堂练 4 ①②③ 随堂练 随堂练 随堂练 分别相等 边边边 SSS AB＝CD 分层练习-基础 BC＝CB △DCB SSS 分层练习-基础 F ABE 分层练习-基础 D 分层练习-基础 分层练习-基础 三边对应相等的两个三角形全等 D 分层练习-基础 B C 分层练习-巩固 38° 相等 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 CE △ABF △CDE 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 边边边 内容 有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”) 应用 思路分析 书写步骤 结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件 注意 四步骤 1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 课堂小结 1．如图所示，已知点A、C、D、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是(　　) A．∠BCA＝∠F　　　　 B．AD＝FC C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 2．如图所示，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出(　　) A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE 3．如图所示，在△ABC中，AB＝EB，AD＝ED，∠A＝80°，则∠CED＝ . 4．在△ABC和△DEF中，AB＝4，BC＝6，CA＝8，DE＝8，EF＝6，要使△ABC与△DEF全等，则DF等于 . 5．如图所示，AB＝CD，AD＝CB，则下列结论：①∠A＝∠C；②AD∥BC；③AB∥CD；④BD平分∠ABC.其中正确的序号是 . 6．已知∠AOB，点C是OB边上的一点．用尺规作图画出经过点C与OA平行的直线． 解：作图略．提示：以点C为顶点，作一个角等于∠AOB. 7．如图所示，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，AC＝BD，求证：△ABC≌△BAD. 证明：在△ABC和△BAD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BC＝AD,AC＝BD,AB＝BA))， ∴△ABC≌△BAD(SSS)． 知识点一：用“SSS”判定三角形全等 三角形全等的判定—SSS：三边 的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”． 1．如图，AD＝BC，要用“SSS”判定△ABC≌△CDA，则还需要添加的条件是 . 2．如图，在△ABC和△DCB中，因为AC＝DB，AB＝DC， ，所以△ABC≌ ，理由是 . 知识点二：用“SSS”证明线段或角相等 在证明两个三角形的边或角相等时，可以考虑先证明边或角所在的两个三角形全等． 3．如图，AB＝AC，AE＝CF，BE＝AF，则∠E＝∠ ，∠CAF＝ ∠ . 4．如图，已知AB＝AC，D为BC中点，下列结论：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC.其中正确的有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 5．(铜仁中考)已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥BF. 证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD，在△ACE和△BDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝BD,AE＝BF,CE＝DF))，∴△ACE≌△BDF(SSS)．∴∠A＝∠B， ∴AE∥BF. 知识点三：尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角的根据是“ ”． 6．如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是(　　) A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC 7．如图，AB＝DE＝6，AC＝DF＝4，若可用“边边边”判定△ABC≌△DEF，则(　　) A．EF＝4 B．EF＝5 C．EF＝6 D．2＜EF＜10 8．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF，需增加一个条件是(　　) A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 9．如图，AB＝ED，AC＝EC，C是BD的中点．若∠ACB＝36°，∠D＝106°，则∠E＝ . 10．如图，在雨伞的截面图中，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC.当点O沿AD滑动时，雨伞开闭，雨伞在开闭过程中∠BAD与∠CAD的大小关系是 ． 11．(桂林中考)如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数． (1)证明：∵AC＝AD＋DC，DF＝DC＋CF，且AD＝CF，∴AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DE,BC＝EF,AC＝DF))，∴△ABC≌△DEF(SSS)； (2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB.∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°，∴∠F＝∠ACB＝37°. 12．如图，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE，求证：△ADC≌△ABC. 小明是这样证明的：∵△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE，∴△ADE＋△DCE≌△ABE＋△BCE，即△ADC≌△ABC. 你认为小明的证明对吗？若认为不对，请写出你的证明． 解：小明的证明不对．证明： ∵△ADE≌△ABE，∴AD＝AB.∵△DCE≌△BCE，∴DC＝BC.在△ADC和△ABC中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AD＝AB,DC＝BC,AC＝AC))，∴△ADC≌△ABC(SSS)． 13．如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF. (1)若E、F运动至如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E、F运动至如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． (1)证明：∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AD＝BC,AE＝CF,DE＝BF))，∴△ADE≌△CBF(SSS)；　 (2)解：成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AE＝CF,AD＝BC,DE＝BF))，∴△ADE≌△CBF(SSS)；　(3)解：平行．∵△ADE≌△CBF，∴∠A＝∠C，∴AD∥BC. 易错点：不是对应边直接当成全等的一个条件． 1. 如图，AB＝CD，BF＝DE，E、F是AC上两点，且AE＝CF.欲证∠B＝∠D，可先运用等式的性质证明AF＝ ，再用“SSS”证明 ≌ 得到结论． 　会用“SSS”判定三角形全等． 【例1】如图，已知点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABF≌△DCE. 【思路分析】在△ABF和△DCE中，已有AB＝DC，AF＝DE，只要再证出BF＝CE即可． 【规范解答】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DC,AF＝DE,BF＝CE))，∴△ABF≌△DCE(SSS)． 能利用三角形全等证角或线段相等． 【例2】如图，已知AC、BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝BD，能得到∠A＝∠D吗？为什么？ 【思路分析】要得到∠A＝∠D，可证明它们所在的△ABO与△DCO全等，但缺少条件，所以不能直接得到，而AB＝DC，AC＝BD，如连接BC，则△ABC≌△DCB. 【规范解答】∠A＝∠D.理由如下：连接BC，在△ABC和△DCB中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DC,BC＝CB,AC＝DB))，∴△ABC≌△DCB(SSS)．∴∠A＝∠D(全等三角形的对应角相等)． 【方法归纳】证明两个三角形全等时注意题目中的隐含条件，如公共边、公共角及对顶角等． $$