精品解析：江苏省江阴市成化高级中学2023-2024学年高三上学期开学调研考试数学试题

江阴市成化高中2023-2024第一学期高三开学调研考试 数学试卷 （2023.8.23） 考试时间120分钟，试卷满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知平面单位向量互相垂直，且，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示： 代数代码 1 2 3 4 总粒数 197 193 201 209 通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（ ） A. 233 B. 234 C. 235 D. 236 4. 设，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 若为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 8. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知平面向量及非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在上的投影向量为 D. 若，则最大值为4 10. 在中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 在值域为 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 12. 定义在上偶函数满足图像关于坐标原点对称，且时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 时， 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知，则__________. 14. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为___________. 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线l垂直于，D为直线l上任一点，则________. 16. 若不等式恒成立，则实数的最小值为__________. 四､解答题 17. 已知一次函数满足，． （1）求的解析式； （2）若，，求实数m的取值范围． 18. 某中学对50名学生的性别与主动预习的情况进行调查，得到的统计数据如表所示： 主动预习 不太主动预习 总计 男 女 总计 （1）判断是否有的把握认为“主动预习”与性别有关？ （2）现从抽取的“主动预习”的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取4人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率． 参考数据与公式： ，其中． 19. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，. （1）若，求，的值； （2）若，，求. 20. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若函数的最小值为-4，求m的值． 21. 记的内角的对边分别为的面积. （1）若，求； （2）已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值. ①为的平分线；②为边上的中线. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 22. 已知函数. ⑴求函数的单调区间； ⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江阴市成化高中2023-2024第一学期高三开学调研考试 数学试卷 （2023.8.23） 考试时间120分钟，试卷满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式可以求出集合A，再利用正弦函数值域求出集合B，进而求出结果. 【详解】由条件知，， 所以， 故选：D． 2. 已知平面单位向量互相垂直，且，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的夹角公式分析判断. 【详解】不妨设，， 设与的夹角为，则. 若，则，当时，， 当且时，与的夹角为钝角. 故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示： 代数代码 1 2 3 4 总粒数 197 193 201 209 通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（ ） A. 233 B. 234 C. 235 D. 236 【答案】A 【解析】 【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当时，的估计值. 【详解】由题意可知：，. 因为回归直线方程经过样本中心，所以，解得， 回归直线方程为：， 当时，的估计值为：. 故选：A. 4. 设，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求，列方程求. 【详解】二项式的展开式的通项为， 所以，，又， 所以， 所以， 故选：B. 5. 若为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断为奇函数，则可判断奇函数，从而可求出的值. 【详解】由，得或，所以定义域为， 令， 因为， 所以为奇函数， 因为为偶函数， 所以奇函数，所以， 因为，所以. 故选：B. 6. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用锐角三角形排除，从而，利用面积公式求出答案. 【详解】由题意得：，故， 因为， 所以， 由余弦定理得：， 解得：或， 当时，最大值为B，其中，故为钝角，不合题意，舍去； 当时，最大值为B，其中，故B为锐角，符合题意， 此时. 故选：D 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴可得或进而根据三角函数的性子即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称可得解得或 由，由于在上没有最小值，所以 ，又或 所以， 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解. 【详解】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以， 即； 因为且， 所以且， 解得，， 则， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知平面向量及非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在上的投影向量为 D. 若，则的最大值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出的坐标，再求出其模，对于B，根据已知条件直接计算判断，对于C，根据投影向量的定义求解判断，对于D，设，则由已知可得，表示出表示圆心为，半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，从而可求出其最大值. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，向量在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设，则， 所以， 化简得，表示圆心为，半径为的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 因为圆心到原点的距离为，圆的半径为， 所以的最大值为，所以D错误. 故选：BC. 10. 在中，角对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，可判断角最大，然后结合余弦定理分析，对于B，利用数量积的定义分析判断，对于C，利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理求解判断，对于D，利用正弦定理统一成角的形式，化简后再判断. 【详解】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断； B：由，得，则为钝角，故B能判断； C：由正弦定理得，所以， 因为，所以，故C能判断； D：由正弦定理，条件等价于=， 则，即，因为， 所以，则，故D不能判断. 故选：BC 11. 已知函数部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 在值域为 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象可知，则可求出，由为的零点，结合的范围，可求出，从而可求出的解析式，再利用三角函数图象变换规律求出，然后逐个分析判断. 【详解】由图知，，则， 即，因为，所以. 因为为的零点，则，得. 由图知，，则，所以， 从而. 由题设，， 由，则，或观察图形便知A错误； 的最小正周期，所以B正确； 当时，，则的图象不关于直线对称，所以C错误； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，所以D错误. 故选：B 12. 定义在上的偶函数满足图像关于坐标原点对称，且时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用偶函数的定义求解；对B，结合函数的对称性与奇偶性列式化简可得函数的最小正周期；对C，根据题意作出函数的图像即可判断；对D，先得时的解析式，设，然后利用周期，代入时的解析式即可求解. 【详解】对A，因为函数为上的偶函数， 所以，故A正确； 对B，由题意可得，， ，所以， 即，所以， 所以，即函数最小正周期为，故B错误； 对C，根据题意作出该函数的图像如下图所示，由图可知， 函数在上单调递减，故C正确； 对D，因为函数为上的偶函数，时，， 所以时，，又因为函数的最小正周期为， 设，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得出关于的等式，解出的值，在利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】由得，所以. 故答案为：. 14. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意在△中求出，在△中利用正弦定理求出，然后在△中可求得结果. 【详解】在△中，， 在△中，，， 则， 由正弦定理得，即，解得， 在△中，. 故答案为： 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线l垂直于，D为直线l上任一点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点E，连结OE.判断出在上的射影为.直接利用数量积的定义即可求解. 【详解】取中点E，连结OE.由△为等腰直角三角形，可得：OE⊥AB，所以在上的射影为. 因为，所以. 因为，所以C为AB三等分点，而E为AB的中点，所以. 因为向量在方向上的投影向量为， 故. 故答案为：. 16. 若不等式恒成立，则实数的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上单调递增，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值得的取值范围，再得的最小值. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由恒成立，得恒成立，得恒成立， 即恒成立，因为在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 令，则， 由，得；由，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题 17. 已知一次函数满足，． （1）求的解析式； （2）若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式，设，代入条件，得到方程组，解出参数即可； （2）将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题. 【小问1详解】 设，则． 由得． 因为，所以． 所以，的解析式为． 【小问2详解】 将代入得（*）． 即，． ①当时，不等式*变为，满足条件； ②当时，原问题等价于 解得． 综上，实数的取值范围为． 18. 某中学对50名学生的性别与主动预习的情况进行调查，得到的统计数据如表所示： 主动预习 不太主动预习 总计 男 女 总计 （1）判断是否有的把握认为“主动预习”与性别有关？ （2）现从抽取的“主动预习”的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取4人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率． 参考数据与公式： ，其中． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照下结论； （2）根据分层抽样，得到抽取4人中，有男生3人，女生1人，设“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B，分别求得其概率，再利用条件概率求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以有的把握认为“主动预习”与性别有关； 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取4人中，有男生3人，女生1人， 设“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 因为参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为， 所以， ， 所以. 19. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，. （1）若，求，的值； （2）若，，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）在菱形中，根据是的中点，，利用三角形相似，得到求解； （2）用，表示向量，然后分别求得，再由平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）在菱形中，， 所以， 则，可得， ， 所以，. （2）因为， ， 所以. 又为菱形，，， ，， ，， 由， 解得. 20. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【小问1详解】 时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 【小问2详解】 因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 21. 记的内角的对边分别为的面积. （1）若，求； （2）已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值. ①为的平分线；②为边上的中线. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到，再由正弦定理即可得到结果； （2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由，再结合余弦定理与基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得，所以， 由三角形的面积公式可得，所以， 所以，又，所以. 因为，所以为锐角，， 所以 ， 由正弦定理得，即， 所以. 【小问2详解】 选择条件①： 在中由余弦定理得，即， 即，故， 当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 选择条件②： 由点为的中点得， 平方得， 在中由余弦定理得， 即，所以. 当且仅当时等号成立， 故有 ， 从而，故的最大值为. 22. 已知函数. ⑴求函数的单调区间； ⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2） 【解析】 【详解】试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值. 试题解析：(1) 由于，所以 . 当，即时，； 当，即时，. 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为. (2) 令，要使总成立，只需时 对求导得， 令，则，() 所以在上为增函数，所以. 对分类讨论： ① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立； ② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意； ③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数的取值范围是. 考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$