第一章 空间向量与立体几何章末检测卷-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（    ）    ①② ③④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 6．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 7．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（    ） A．线段的长为36 B．点在平面内 C．线段的中点的坐标为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． ，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 . 13．已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 14．如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 16．（15分）在直三棱柱中，，分别为棱中点. (1)证明：平面； (2)若，且，则当为何值时，有？ 17．（15分）如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 18．（17分）如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点． (1)求证：平面； (2)已知：条件①平面，条件②，条件③平面平面，从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定，并求二面角的余弦值． 19．（17分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点关于平面的对称点为，可得， 则点为与平面的交点， 令，则，且， 又由， 所以，解得，所以. 故选：D. 2．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：D 3．已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 4．如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有（    ）    ①② ③④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】依题意，， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 故选：B. 5．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 6．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在正三棱锥中，，又，，所以，所以， 同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面ABC的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点O到平面ABC的距离， 所以． 故选：D． 7．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设与平面所成角为，正方体的棱长为， 根据正方体的性质可得，平面， 所以平面，且点为的中心， 所以. 又因为直线与所成角为，且的最小值为， 所以与平面所成角为，所以为. 由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线， 所以此时. 又因为在中，易得，， 所以， 所以， 所以 . 故选：B. 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点， 则，而，， ，因此， ，，，， 对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误； 对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和， ，于是，即就是当为的中点的时候，②正确； 同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，， 设其夹角为，则， 令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误； 对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误． 所以正确的个数为1个. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【详解】 ∵，∴根据平面向量基本定理得：，，共面，不能作为空间向量的一个基底．所以①不符合； ∵，，，且是空间的一个基底， ∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底．所以②符合 ∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底，所以③符合 ∵, ∴由图可知，与共面于平面，显然对应的直线平面平面， 所以，，不共面，都可作为空间向量的一个基底．所以④符合 故选;BCD. 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 11．已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（    ） A．线段的长为36 B．点在平面内 C．线段的中点的坐标为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【详解】因为点，， 所以,故A错误； 设点的坐标为，因为为线段的中点， 所以， 则的坐标为，故C正确； 因为点，则，又， 则，所以，即， 又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故B正确； 由，，得， 设直线与平面所成的角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． ，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】根据题意，可设点， 因为点到两点的距离相等，可得， 即， 解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 13．已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】将正四面体放入正方体中， 以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，如图所示， 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点、分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以, 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线不在平面上， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 点到平面的距离， 故答案为：. 14．如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，，，，， ． （2）解：因为，，，，． ． ． 16．（15分）在直三棱柱中，，分别为棱中点. (1)证明：平面； (2)若，且，则当为何值时，有？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 分别为的中点，结合题意得，且， 故四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （2），取中点为，则有， 连接，由题意得底面，如图以为原点，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，， 则， ， 则， 得，由题意得， 即当时有. 17．（15分）如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，相交于点O，连接，相交于点， 由，可得为等边三角形， 又由O为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有， 取，，，可得平面的一个法向量为， （1）由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； （2）由，有， 可得点到平面的距离为． 18．（17分）如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点． (1)求证：平面； (2)已知：条件①平面，条件②，条件③平面平面，从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定，并求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）连接，如图1， 因为交平面于点平面， 所以平面，所以平面平面． 又因为平面平面且平面平面， 所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以平面． （2）由（1）知，点是的中点，所以点是线段的中点． 若选择条件①②： 因为平面四边形的棱长相等，而且对角线， 所以四边形是正方形， 又因平面，所以． 故如图2建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 由，可取， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． 若选择条件①③： 因为平面平面平面， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 如图建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为， 由，可取， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 又由题意知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 选择条件②③不合题意， 由条件②，且平面四边形的棱长相等，可得四边形是正方形， 由条件③平面平面，无法确定与， 故几何体不能唯一确定． 19．（17分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 【答案】(1)存在，点M的位置见解析 (2) 【详解】（1）因为四棱台的上、下底面都是正方形，且底面ABCD， 所以可以以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则 ， 假设在底面内存在点M，满足平面CPQ，则可设， 有，则，即， 所以，， 故在底面内存在点，满足平面CPQ. （2）设，因为点T在平面CPQ内，所以可设， 则， 所以，所以，则， 连接，， 设平面CPTQ将四棱台分成上、下两部分的体积分别为， ， ，， 取的中点，连接，则，， 又平面，平面，所以平面， ， 所以， ， ，所以， 所以所求的上、下两部分的体积比为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$